[论文解读] New Constructions of SD and MR Codes over Small Finite Fields

Guang‐Da Hu, Sergey Yekhanin|arXiv (Cornell University)|May 8, 2016

Advanced Data Storage Technologies参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了在小有限域上新的显式 SD 和 MR 码构造，实现了三重重 parity 的 SD 码最优场大小增长 O(n)，并在两个本地组且 h 可被 4 整除的情况下，改进了先前 MR 码的构造。该方法采用具有连续指数的范德蒙德型校验矩阵，实现了更小的场大小，并克服了先前线性化构造的局限性。

ABSTRACT

Data storage applications require erasure-correcting codes with prescribed sets of dependencies between data symbols and redundant symbols. The most common arrangement is to have $k$ data symbols and $h$ redundant symbols (that each depends on all data symbols) be partitioned into a number of disjoint groups, where for each group one allocates an additional (local) redundant symbol storing the parity of all symbols in the group. A code as above is maximally recoverable, if it corrects all erasure patterns that are information theoretically correctable given the dependency constraints. A slightly weaker guarantee is provided by SD codes. One key consideration in the design of MR and SD codes is the size of the finite field underlying the code as using small finite fields facilitates encoding and decoding operations. In this paper we present new explicit constructions of SD and MR codes over small finite fields.

研究动机与目标

• 在小有限域上构造显式的 SD 和 MR 码，以提高分布式存储系统中的编码与译码效率。
• 克服先前构造对大有限域的依赖，特别是当 h > 2 时的局限性。
• 实现 h = 3 时 SD 码的最优场大小增长（O(n)），并在双本地组设置下改进 MR 码的场大小边界。
• 开发一种范德蒙德型构造，避免线性化构造中次优的场大小。

提出的方法

• 提出一类新的 (k,r,h)-SD 码，其中 h=3 且 r=O(1)，采用具有连续指数 1,2,3,… 的范德蒙德型校验矩阵，实现场大小 O(n)。
• 提出一种通用的 (k,r,h)-局部 MR 码构造，使用具有多项式插值和有限域性质的结构化校验矩阵。
• 基于扩张域中元素的线性无关性，采用秩论证方法，证明在删除模式下校验矩阵的满秩性。
• 在有限域上使用多项式插值构造满足局部与重 parity 约束的码字，确保最大可恢复性。
• 应用场迹与弗罗贝尼乌斯自同态技术，分析评估点的线性无关性，并推导场大小的边界。
• 利用矩阵 M 及其行列式的结构，证明在特定组大小约束下其非奇异，从而确保码的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在场大小随 n 线性增长的小有限域上，构造出 h=3 的 SD 码？
• RQ2 能否使用非线性化构造，实现 g=2 个本地组且 h 可被 4 整除时，场大小为 n^{h/2} 的 MR 码？
• RQ3 范德蒙德型构造能否在场大小方面优于 MR 码的线性化构造？
• RQ4 当 h > 2 且 g=2 时，MR 码所需的最小场大小是多少？能否通过显式构造实现？
• RQ5 在满足对所有组均有 r_i ≤ ⌈h/g⌉+1 的约束下，能否证明矩阵 M 的行列式非零？

主要发现

• 本文在场大小为 O(n) 的域上，构造了显式的 h=3 且 r=O(1) 的 SD 码，实现了该参数范围下的最优场大小增长。
• 对于具有 g=2 个本地组且 h 可被 4 整除的 MR 码，该构造实现了 n^{h/2} 的场大小，优于先前构造。
• 所提出的构造为范德蒙德型，使用连续指数 1,2,3,…，避免了线性化构造中的次优场大小。
• 证明了任何线性化构造都无法实现优于 O(n^{h/2}) 的场大小，因此在该设定下范德蒙德方法渐近最优。
• 在每组最多删除 ⌈h/g⌉+1 个符号的条件下，证明了矩阵 M 的行列式非零，从而确保码的正确性。
• 通过证明校验矩阵在所有理论上可纠正的删除模式下保持满秩，证明了该构造为最大可恢复码。