[论文解读] New Constructions of Sonar Sequences

Diego Ruíz, Carlos A. Trujillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于 Bose 和 Ruzsa 构造的一维 Sidon 集的新方法，用于构建模形式声纳序列。通过使用向下取整除法将这些 Sidon 集的元素映射到频率索引，作者生成了 $m \times n$ 的模形式声纳序列，其具有保证的低模糊性，为现有基于 Costas 矩阵的方法提供了独立的替代方案，并扩展了对素数和素数幂模数的已知构造。

ABSTRACT

A set A is a Sidon set in an additive group G if every element of G can be written at most one way as sum of two elements of A. A particular case of two-dimensional Sidon sets are the sonar sequences, which are two-dimensional synchronization patterns. The main known constructions of sonar sequences are reminiscent of Costas arrays constructions (Welch and Golomb). Other constructions are Quadratic and Shift. In this work we present new constructions of sonar sequences, independent of the named above, using one-dimensional Sidon sets.

研究动机与目标

• 开发新的、独立于经典 Welch、Golomb 和 Costas 基方法的声纳序列构造方法。
• 利用一维 Sidon 集——特别是 Bose 和 Ruzsa 构造的 Sidon 集——来生成二维声纳序列。
• 建立这些新构造在何种条件下可产生具有最小模糊性的有效模形式声纳序列。
• 扩展已知的可行 $m \times n$ 声纳序列尺寸范围，特别是针对素数和素数幂模数。
• 解决关于给定 $m$ 的声纳序列最大长度 $G(m)$ 的开放问题。

提出的方法

• 利用 Bose 在 $\mathbb{Z}_{(q+1)(q-1)}$ 中对素数幂 $q = p^r$ 的 Sidon 集构造方法，生成具有 $q$ 个元素且两两和互异的集合。
• 应用 Ruzsa 在 $\mathbb{Z}_{p(p-1)}$ 中对奇素数 $p$ 的 Sidon 集构造方法，生成具有 $p-1$ 个元素且和具有唯一性的集合。
• 定义映射 $f(i) = \left\lfloor \frac{b_i}{k} \right\rfloor$，其中 $b_i$ 是模 $k$ 同余于 $i$ 的 Sidon 集中唯一元素，且 $k = q+1$ 或 $k = p$。
• 证明所得序列满足模形式声纳条件：$f_{i+h} - f_i \equiv f_{j+h} - f_j \pmod{m} \Rightarrow i = j$。
• 验证该构造在频域中保持了差值的唯一性，从而确保信号检测中的低模糊性。
• 从定理 10 推导出推论 1 和推论 2，建立 $(q-1) \times q$ 和 $ (p-1) \times (p-1) $ 以及 $ p \times (p-1) $ 模形式声纳序列的显式构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从一维 Sidon 集中导出新的、非基于 Costas 的声纳序列构造？
• RQ2 Bose 和 Ruzsa 的 Sidon 集构造的哪些特性使得能够导出有效的模形式声纳序列？
• RQ3 对于哪些模数 $m$ 可以使用该方法构造新的 $m \times n$ 模形式声纳序列？
• RQ4 能否证明或证伪对所有正整数 $m$ 都有 $G(m) \geq m$？
• RQ5 该方法能否扩展以构造非模形式的 $m \times n$ 声纳序列？

主要发现

• 定理 10 建立了一种通用方法，通过将模 $k$ 的元素进行向下取整除法，从一维 Sidon 集构造 $m \times n$ 模形式声纳序列。
• 推论 1 从 $\mathbb{Z}_{(q+1)(q-1)}$ 中大小为 $q$ 的 Bose Sidon 集构造出 $(q-1) \times q$ 模形式声纳序列。
• 推论 2 从 $\mathbb{Z}_{p(p-1)}$ 中大小为 $p-1$ 的 Ruzsa Sidon 集构造出 $(p-1) \times (p-1)$ 模形式声纳序列。
• 推论 2 还通过将模数调整为 $p-1$，构造出 $p \times (p-1)$ 模形式声纳序列。
• 例 1 展示了从 $q=9$ 使用 Bose 构造得出的具体 $8 \times 9$ 模形式声纳序列 $[0,6,5,0,5,7,3,3,4]$。
• 例 2 展示了对 $p=7$ 的 $6 \times 6$ 序列 $[5,0,4,0,0,3]$ 和对 $p=13$ 的 $13 \times 12$ 序列 $[12,12,11,8,1,12,7,9,12,4,0,4]$，均使用 Ruzsa 构造。