[论文解读] New Constructive Aspects of the Lovasz Local Lemma

Bernhard Haeupler, Barna Saha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文通过展示Moser-Tardos算法对条件LLL-分布的良好近似，提出了洛瓦兹局部大数定理（LLL）的构造性方法，使得即使在坏事件数量为超多项式时，也能实现高效的采样与概率分析。该研究为若干问题提供了首个高效的蒙特卡洛算法与RNC算法，包括圣纳托斯问题的常数因子近似解，以及环边着色和拉姆齐型图问题的改进界。

ABSTRACT

The Lovász Local Lemma (LLL) states that the probability that none of a set of "bad" events happens is nonzero if the probability of each event is small compared to the number of bad events it depends on. A series of results have provided algorithms to efficiently construct structures whose existence is (non-constructively) guaranteed by the full asymmetric LLL, culminating in the recent breakthrough of Moser & Tardos. We show that the output distribution of the Moser-Tardos procedure has sufficient randomness, leading to two classes of algorithmic applications. We first show that when an LLL application provides a small amount of slack, the running time of the Moser-Tardos algorithm is polynomial in the number of underlying independent variables (not events!), and can thus be used to give efficient constructions in cases where the underlying proof applies the LLL to super-polynomially many events (or where finding a bad event that holds is computationally hard). We demonstrate our method on applications including: the first constant-factor approximation algorithm for the Santa Claus problem, as well as efficient algorithms for acyclic edge coloring, non-repetitive graph colorings, and Ramsey-type graphs. Second, we show applications to cases where a few of the bad events can hold, leading to the first such algorithmic applications of the LLL: MAX $k$-SAT is an illustrative example of this.

研究动机与目标

• 弥合非构造性LLL应用与高效算法构造之间的差距，特别是在坏事件数量为超多项式时。
• 证明Moser-Tardos算法能够高效地从条件LLL-分布中采样，从而实现对条件空间中罕见事件的概率分析。
• 通过聚焦于一个小型核心事件集，为检测坏事件在计算上困难的问题开发高效算法。
• 通过从核心采样以避免超出预期比例的坏事件，将LLL相关结果扩展至标准依赖阈值之外。
• 为若干组合问题（包括圣纳托斯问题、环边着色和非重复着色）提供首个高效算法。

提出的方法

• 利用Moser-Tardos算法高效地从条件LLL-分布中采样，该分布为在避免所有坏事件条件下的分布。
• 利用已知的条件LLL-分布中事件概率的界，对非核心事件执行并集界分析，确保违反事件的期望数量较低。
• 通过随机化或基于LLL的选择方法构造一个小型坏事件核心子集，使得仅重采样该核心即可高概率地避免大量坏事件。
• 将Moser-Tardos算法应用于建模核心选择失败的坏事件系统，确保核心不会导致依赖关系过载。
• 使用切尔诺夫不等式与LLL条件，界定核心中任一事件拥有过多邻居的概率，确保核心行为良好。
• 将核心构造与Moser-Tardos算法结合，生成一个运行时间为多项式（poly(n,m)）且违反事件期望数量较低的随机化算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 当坏事件数量为超多项式时，Moser-Tardos算法是否仍能高效地从条件LLL-分布中采样？
• RQ2 Moser-Tardos算法的输出是否可用于构建LLL相关问题的高效蒙特卡洛或RNC算法，尤其在事件检测计算困难时？
• RQ3 是否可通过最小化违反事件数量，将LLL框架扩展至完全避免所有坏事件不可能的情形？
• RQ4 在条件LLL-分布中，核心大小与违反事件期望数量之间的最优权衡是什么？
• RQ5 构造性LLL方法是否可应用于获得圣纳托斯问题等难题的首个高效近似算法？

主要发现

• Moser-Tardos算法对条件LLL-分布具有良好的近似性，使得在条件空间中对罕见事件的概率分析成为可能。
• 对于任意 α > 0，Moser-Tardos算法输出中违反坏事件的期望数量至多为 (1+o(1))λ(α)·mp，其中 λ(α) 是 α 的次线性函数。
• 当LLL具有松弛时，Moser-Tardos算法中的重采样次数接近于变量数 n 的线性函数，而非事件数 m。
• 本文通过使Feige基于LLL的证明构造化，首次为圣纳托斯问题提供了常数因子近似算法。
• 为环边着色、非重复图着色和拉姆齐型图问题构建了蒙特卡洛算法，其界通常优于先前工作。
• 通过从LLL-分布中采样一个核心，即使在完全避免坏事件不可能的情况下，也能避免超过期望比例的坏事件——该结论在MAX k-SAT问题上得到验证。