[论文解读] New Criteria of Generic Hyperbolicity based on Periodic Points

Armando Castro|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文基於週期點的非均勻雙曲性（NUH）建立 $C^1$ 微分同胚與局部微分同胚的新的通用雙曲性準則。透過利用週期集為 NUH 的殘子集，並引入非可逆版本的遍歷閉合引理，作者證明此類系統在一般情況下為 Axiom A 且具備一致雙曲性，提供了一種較弱於基於拖影性質的替代準則。

ABSTRACT

We prove a criteria for uniform hyperbolicity based on the periodic points of the transformation. More precisely, if a mild (non uniform) hyperbolicity condition holds for the periodic points of any diffeomorphism in a residual subset of a $C^1$-open set $\SU$ then there exists an open and dense subset $\SA\subset \SU$ of Axiom A diffeomorphisms. Moreover, we also prove a noninvertible version of Ergodic Closing Lemma which we use to prove a counterpart of this result for local diffeomorphisms. As a simple corollary of our techniques, we have that an arbitrary $\mathrm{C}^1$-class local diffeomorphism $f$ of a closed manifold $M^n$ is uniformly expanding on the closure $\mathrm{Cl}_{M^n}(\mathrm{Per}(f))$ of its periodic point set $\mathrm{Per}(f)$, if it is nonuniformly expanding on $\mathrm{Per}(f)$.

研究动机与目标

• 建立僅依賴週期點行為的均勻雙曲性之一般條件，避免強烈拖影假設。
• 將遍歷閉合引理推廣至非奇異自同態（局部微分同胚），使弱拖影性質可在非可逆設定中應用。
• 證明在 $C^1$-開集 $\mathcal{U}$ 中，具有 NUH 週期點的殘子集由 Axiom A 微分同胚組成，進而暗示一致雙曲性。
• 證明此類系統的遍歷測度為週期測度的弱-*極限，並運用擾動與連續性論證。

提出的方法

• 作者定義 $C^1$-開集 $\mathcal{U}$ 的微分同胚，並考慮週期集為非均勻雙曲性（NUH）的殘子集。
• 他們使用擴展至自同態的遍歷閉合引理，證明任何遍歷測度皆為鄰近系統中週期測度的弱-*極限。
• 透過擾動系統以確保週期點的雙曲性，並利用週期測度閉包映射 $\Upsilon$ 的下半連續性，建立測度的收斂性。
• 證明依賴於遍歷分解定理，以及軌道上經驗測度弱-*收斂至遍歷極限。
• 關鍵技術在於構造一列鄰近的微分同胚 $g_k$，其週期點 $p_k$ 以 $\epsilon_k/3$-拖影方式逼近典型點 $x$ 的軌道，確保不變測度的收斂性。
• 該論證透過證明非可逆版本的遍歷閉合引理，延伸至自同態，此為非可逆情形下至關重要的關鍵。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可僅透過週期點的雙曲性，而不假設強烈拖影性質，來一般性地特徵化均勻雙曲性？
• RQ2 是否存在非可逆版本的遍歷閉合引理，使週期點能在自同態中弱拖影典型軌道？
• RQ3 具有非均勻雙曲週期集的 $C^1$ 微分同胚集合是否為殘子集？此性質是否一般性地暗示一致雙曲性？
• RQ4 在週期點為 NUH 且雙曲的系統中，是否可於弱-*拓撲下以週期測度逼近遍歷測度？
• RQ5 在何種條件下，週期測度的閉包會與所有不變測度集合重合，進而暗示 Axiom A 結構？

主要发现

• 在 $C^1$-開集 $\mathcal{U}$ 中，具有非均勻雙曲週期點的殘子集由 Axiom A 微分同胚組成。
• 非可逆版本的遍歷閉合引理對 $C^1$ 非奇異自同態成立，使週期點能弱拖影典型軌道。
• 殘子集內系統的任何遍歷測度皆為鄰近系統週期測度的弱-*極限，確保不變測度集合為週期測度的閉凸包。
• 映射 $\Upsilon(f) = \overline{\mathcal{M}_{\text{per}}(f)}$ 為下半連續，且在 $\mathcal{U}$ 的殘子集中存在 $\Upsilon$ 的連續點。
• 對於此類連續點 $f$，不變測度集合 $\mathcal{M}_1(f)$ 為 $f$-遍歷測度的閉凸包，且其支撐於週期軌道上。
• 此結果暗示，在僅假設週期集為 NUH 的前提下，一致雙曲性在 $\mathcal{U}$ 中為一般性成立，無需假設完整拖影性質。