[论文解读] New derived autoequivalences of Hilbert schemes and generalised Kummer varieties

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文在光滑射影曲面 $X$ 的导出范畴上引入了一个新的 $ olimits^{n-1}$-函子，该函子通过对角嵌入和平凡 $ olimits_n$-线性化构造而成，其在 Hilbert 模丛 $X^{[n]}$ 上诱导出一个导出自同构。对于阿贝尔曲面，该函子限制在广义 Kummer 曲面 $K_{n-1}A$ 上时，分解为 $n^4$ 对应正交的 $ olimits^{n-1}$-对象，推广了 Kummer 曲面上的 16 个球形对象。

ABSTRACT

We show that for every smooth projective surface X and every $n\ge 2$ the push-forward along the diagonal embedding gives a $P^{n-1}$-functor into the $S_n$-equivariant derived category of X^n. Using the Bridgeland--King--Reid--Haiman equivalence this yields a new autoequivalence of the derived category of the Hilbert scheme of n points on X. In the case that the canonical bundle of X is trivial and n=2 this autoequivalence coincides with the known EZ-spherical twist induced by the boundary of the Hilbert scheme. We also generalise the 16 spherical objects on the Kummer surface given by the exceptional curves to n^4 orthogonal $P^{n-1}$-Objects on the generalised Kummer variety.

研究动机与目标

• 为任意光滑射影曲面 $X$ 和 $n \geq 2$ 构造 Hilbert 模丛 $X^{[n]}$ 的新导出自同构。
• 将已知的 $X^{[2]}$ 边界诱导的自同构推广至任意 $n \geq 2$ 及具有非平凡 canonical bundle 的曲面。
• 将 Kummer 曲面 $K_1A$ 上的 16 个球形对象推广为阿贝尔曲面 $A$ 的广义 Kummer 曲面 $K_{n-1}A$ 上的 $n^4$ 对应正交 $ olimits^{n-1}$-对象。

提出的方法

• 定义函子 $F: \operatorname{D}^b(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ 为平凡 $ olimits_n$-线性化与对角嵌入 $\delta_*: \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ 的复合。
• 通过验证所需的伴随关系与上同调条件，证明 $F$ 是一个 $ olimits^{n-1}$-函子，包括 $RF \simeq \operatorname{id} \oplus H \oplus \cdots \oplus H^n$，其中 $H$ 为一个自同构。
• 利用 Bridgeland–King–Reid–Haiman 等价性，将 $ olimits^{n-1}$-函子转移到 Hilbert 模丛 $X^{[n]}$ 的导出范畴，从而得到一个新的自同构。
• 将 $ olimits^{n-1}$-函子限制在阿贝尔曲面 $A$ 的广义 Kummer 曲面 $K_{n-1}A \subset A^{[n]}$ 上，证明其分解为 $n^4$ 对应正交的 $ olimits^{n-1}$-对象。
• 通过横截相交与法丛的 $ olimits_n$-不变上同调，识别这些对象为 $A$ 上 $n$-挠点处的截影层。
• 将诱导出的自同构与标准自同构（如来自 $\operatorname{Aut}(\operatorname{D}^b(X))$ 或 Addington 的函子）进行比较，表明即使在 Fano 曲面情形下，该自同构也是非标准的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意光滑射影曲面 $X$ 和 $n \geq 2$，沿平凡 $ olimits_n$-线性化的对角上推是否在 $X^n$ 上给出一个 $ olimits^{n-1}$-函子？
• RQ2 当 $n=2$ 且 $K_X \cong \mathcal{O}_X$ 时，该 $ olimits^{n-1}$-函子在 $X^{[2]}$ 上诱导的自同构是否与已知的由边界 $X^{[2]}_{\Delta}$ 诱导的自同构一致？
• RQ3 Kummer 曲面 $K_1A$ 上的 16 个球形对象能否推广为 $n \geq 2$ 时广义 Kummer 曲面 $K_{n-1}A$ 上的 $n^4$ 对应正交 $ olimits^{n-1}$-对象？
• RQ4 与现有自同构（如 Ploog 构造或 Addington 函子在 $A^{[n]}$ 上的构造）相比，该新自同构有何不同？
• RQ5 即使当 $X$ 是 Fano 曲面时，该自同构在 $K_{n-1}A$ 上是否独立于标准自同构？

主要发现

• 对于任意光滑射影曲面 $X$ 和 $n \geq 2$，由平凡 $ olimits_n$-线性化与对角上推定义的函子 $F: \operatorname{D}^b(X) \to \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ 是一个 $ olimits^{n-1}$-函子。
• 当 $n=2$ 且 $X$ 具有平凡 canonical bundle 时，$F$ 在 $X^{[2]}$ 上诱导的自同构与由边界 $X^{[2]}_{\Delta}$ 通过 EZ-球形对象 $\mathcal{O}_{\mu|X^{[2]}_{\Delta}}(-2)$ 诱导的已知自同构一致。
• 在阿贝尔曲面 $A$ 的广义 Kummer 曲面 $K_{n-1}A$ 上，$ olimits^{n-1}$-函子的限制分解为 $n^4$ 对应正交的 $ olimits^{n-1}$-对象，每个对应于 $A$ 的一个 $n$-挠点。
• 这 $n^4$ 个对象推广了 Kummer 曲面 $K_1A$ 上的 16 个球形对象，后者由 $\mathcal{O}_{E(a)}(-2)[1]$ 给出（$a \in A_2$），并可通过 Bridgeland–King–Reid 等价性识别为 $\Phi^{-1}(\mathbb{C}(\delta(a)))$。
• 在 $X^{[n]}$ 上诱导的自同构是非标准的，且与来自 $\operatorname{Aut}(\operatorname{D}^b(X))$ 或 Addington 函子的自同构不同，即使 $X$ 是 Fano 曲面。
• 导出范畴 $\operatorname{D}^b(K_{n-1}A)$ 的自同构群包含一个 $\mathbb{Z}^{n^4}$ 的副本，由这 $n^4$ 个正交 $ olimits^{n-1}$-对象的扭转生成。