[论文解读] New Deterministic Approximation Algorithms for Fully Dynamic Matching

Sayan Bhattacharya, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 11

一句话总结

本文提出了两种用于完全动态图中最大匹配问题的确定性动态算法。第一种算法在一般图中维护一个 $(2+\epsilon)$-近似匹配，更新时间复杂度为 $O(\operatorname{poly}(\log n, 1/\epsilon))$，首次实现了 $o(\log n)$-近似下的多项式对数更新时间。第二种算法在二分图中对任意常数 $K$ 实现 $\alpha_K$-近似，更新时间复杂度为 $O(n^{2/K})$，在保持亚多项式更新时间的同时实现了优于两倍的近似比。

ABSTRACT

We present two deterministic dynamic algorithms for the maximum matching problem. (1) An algorithm that maintains a $(2+ε)$-approximate maximum matching in general graphs with $O( ext{poly}(\log n, 1/ε))$ update time. (2) An algorithm that maintains an $α_K$ approximation of the {\em value} of the maximum matching with $O(n^{2/K})$ update time in bipartite graphs, for every sufficiently large constant positive integer $K$. Here, $1\leq α_K < 2$ is a constant determined by the value of $K$. Result (1) is the first deterministic algorithm that can maintain an $o(\log n)$-approximate maximum matching with polylogarithmic update time, improving the seminal result of Onak et al. [STOC 2010]. Its approximation guarantee almost matches the guarantee of the best {\em randomized} polylogarithmic update time algorithm [Baswana et al. FOCS 2011]. Result (2) achieves a better-than-two approximation with {\em arbitrarily small polynomial} update time on bipartite graphs. Previously the best update time for this problem was $O(m^{1/4})$ [Bernstein et al. ICALP 2015], where $m$ is the current number of edges in the graph.

研究动机与目标

• 设计能够以高效更新时间维护完全动态图中高质量近似最大匹配的确定性动态算法。
• 通过实现确定性的多项式对数更新时间，克服先前随机化算法的局限性。
• 在保持亚多项式更新时间的同时，提升二分图中的近似保证，特别是实现优于两倍的近似比。
• 通过结构化的骨架和元图框架，为动态环境中近似匹配的维护提供系统方法。
• 实现与边数无关的摊销更新时间界限，并能随图规模和近似精度的提高而高效扩展。

提出的方法

• 针对一般图的算法采用度分裂过程，并维护图的近似骨架以控制更新时间和近似误差。
• 维护一个关键且层叠的结构以追踪节点度数和边关系，通过基于阶段的重构机制实现高效更新。
• 针对二分图，该方法引入分层结构，包含剩余边和节点容量，支持分数匹配的公式化表达。
• 在每一层构建元图以模拟分数 $b$-匹配，其中每个节点根据其剩余容量进行复制。
• 在元图上应用动态分数匹配算法，以维护对剩余匹配大小的 $(1+\epsilon)^2$-近似。
• 通过摊销分析控制总更新成本，通过追踪势能函数并控制昂贵重建操作的频率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性算法，在一般图中以多项式对数更新时间维护一个 $(2+\epsilon)$-近似最大匹配？
• RQ2 能否在二分图中以亚多项式更新时间实现优于两倍的近似比？
• RQ3 如何高效维护动态骨架，以同时支持近似保证和更新时间保证？
• RQ4 在使用分层结构时，二分图中近似比与更新时间之间的权衡是什么？
• RQ5 元图能否用于模拟分数匹配，并实现对近似解的高效动态维护？

主要发现

• 本文首次提出一种确定性算法，在一般图中以 $O(\operatorname{poly}(\log n, 1/\epsilon))$ 的摊销更新时间维护一个 $(2+\epsilon)$-近似最大匹配。
• 对于二分图，该算法对任意常数 $K$ 实现 $\alpha_K$-近似，更新时间复杂度为 $O(n^{2/K})$，其中 $\alpha_K < 2$。
• 当结合元图维护时，二分图算法的更新时间降低为 $O(n^{1/K} \cdot \log n)$，优于先前的 $O(m^{1/4})$ 上限。
• 该方法提出一种新颖的元图构造方式，可模拟分数 $b$-匹配，并实现对剩余匹配的 $(1+\epsilon)^2$-近似。
• 通过势能函数论证，实现了对摊销更新时间的有界控制，从而控制了重建关键结构的成本。
• 该框架实现的近似保证几乎与最佳随机化算法相当，但提供了确定性保证。