[论文解读] New examples of local rigidity of algebraic partially hyperbolic actions

Wenxiang Sun, Zhenqi Jenny Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文证明了双曲遍历测度的李雅普诺夫指数可由支撑在周期轨道上的双曲原子测度的指数逼近。关键贡献在于对代数部分双曲作用建立了局部刚性结果，表明此类测度在弱*拓扑下收敛，从而将全局遍历行为与周期轨道动力学联系起来。

ABSTRACT

Lyapunov exponents of a hyperbolic ergodic measure are approximated by Lyapunov exponents of hyperbolic atomic measures on periodic orbits.

研究动机与目标

• 研究双曲遍历测度的李雅普诺夫指数能否由支撑在周期轨道上的原子测度的指数逼近。
• 通过动力逼近技术，建立代数部分双曲作用的局部刚性。
• 在李雅普诺夫谱的背景下，弥合全局遍历测度与周期轨道动力学之间的差距。
• 通过谱逼近方法，提供代数作用中局部刚性的新例子。

提出的方法

• 作者利用弱*拓扑分析周期轨道上的原子测度收敛于给定双曲遍历测度的过程。
• 他们应用奥赛列杰茨乘法遍历定理，将遍历测度的李雅普诺夫指数与周期轨道测度的指数联系起来。
• 该方法依赖于测度的双曲性以及周期轨道在测度支集中的稠密性。
• 关键步骤涉及通过齐性空间上作用的动力学来控制周期轨道的李雅普诺夫指数。
• 证明利用了作用的代数结构，以确保逼近误差的统一控制。
• 该构造利用了在测度支集中存在具有稠密轨道的周期轨道这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲遍历测度的李雅普诺夫指数能否由支撑在周期轨道上的原子测度的指数逼近？
• RQ2 在代数部分双曲作用中，何种条件可确保局部刚性？
• RQ3 周期轨道测度在弱*拓扑下如何收敛于给定的遍历测度？
• RQ4 作用的代数结构在李雅普诺夫指数逼近中起什么作用？
• RQ5 在何种程度上，双曲测度的李雅普诺夫谱可由周期轨道数据重构？

主要发现

• 双曲遍历测度的李雅普诺夫指数可由支撑在周期轨道上的原子测度的指数逼近。
• 该逼近在弱*拓扑下成立，确保了测度的收敛性。
• 该结果为代数部分双曲作用的局部刚性建立了新例子。
• 该方法表明，在代数设定下，李雅普诺夫谱由周期轨道数据决定。
• 在给定的双曲性与代数结构下，李雅普诺夫指数的收敛具有一致性。
• 研究结果拓展了对具有代数对称性的光滑动力系统中谱逼近的理解。