[论文解读] New examples of terminal and log canonical singularities

Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 29

一句话总结

本文通过在完备交上使用一种新颖的爆破构造，构建了高维中终端奇异点与对数可极奇异点的新例子。证明了存在 4 维终端奇异点，其类群平凡且穿孔邻域单连通；并构造了 3 维孤立对数可极奇异点，其解析解的上同调与基本群反映了给定曲面的拓扑结构，从而推进了双有理几何中奇异点的理解。

ABSTRACT

We give new examples of terminal and log canonical singularities.

研究动机与目标

• 构建已知族别之外高维中终端与对数可极奇异点的新例子。
• 探索此类奇异点解析解的拓扑与上同调不变量（如基本群、上同调）。
• 研究穿孔空间或解析解的基本群是否可实现任意有限或无限群。
• 确定在高维奇异点中，canonical 类与类群是否可被控制。
• 将先前关于超曲面与锥奇异点的结果推广至具有指定几何与拓扑性质的更一般构造。

提出的方法

• 在由线丛 $L(-Z)$ 的 $n-1$ 个一般截面定义的完备交 $Y \subset P$ 上使用爆破构造，其中 $Z \subset P$ 是 codimension $n$ 的局部完备交。
• 定义相对 Proj $B_{(-Z)}Y := \operatorname{Proj}_Y \bigoplus_{m=0}^\infty \mathcal{O}_Y(mZ)$，该构造替代了对理想层 $\mathcal{O}_Z$ 的通常爆破。
• 证明 $B_{(-Z)}Y$ 是 Cohen-Macaulay，且当 $Z$ 具有正规相交奇异点时，其例外除子为 $Z$ 上的 $\mathbb{P}^1$-丛。
• 证明若 $Z$ 仅有正规相交奇异点且 $\dim Z \leq 4$，则 $B_{(-Z)}Y \setminus Z$ 在 $Z$ 附近光滑，且 canonical 簇满足 $\omega_{B_{(-Z)}Y} \cong \pi^* \omega_Y \cong \pi^*(\omega_P \otimes L^{n-1})|_Y$。
• 通过 étale 局部计算验证爆破的方案理论结构及奇异点集的行为，依据行列式条件。
• 将该构造应用于将给定光滑代数簇 $Z$ 实现为孤立奇异点 $(0 \in X)$ 的解析解的例外集，且其基本群与解析解的上同调可被控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个光滑代数簇 $Z$ 是否都可作为高维中孤立奇异点 $(0 \in X)$ 的解析解的例外集？
• RQ2 对于对数可极奇异点的解析解 $Y \to X$，其 $\pi_1(Y)$ 与 $\pi_1(X \setminus \{0\})$ 的可能基本群是什么？
• RQ3 对数可极奇异点的解析解的上同调 $R^1p_*\mathcal{O}_Y$ 是否可实现任意 Hodge 结构或拓扑不变量？
• RQ4 是否存在一种构造，能产生 4 维终端奇异点，其类群平凡且穿孔邻域单连通？
• RQ5 对数正则奇异点的光滑底簇的基本群是否可为无限？

主要发现

• 对每个 $r \geq 4$，存在一个 4 维终端奇异点芽 $(0 \in X_r)$，满足 $K_{X_r}$ 为 Cartier，$X_r \setminus \{0\}$ 单连通，$\operatorname{Cl}(X_r)$ 平凡，且嵌入维数为 $r$。
• 对任意无边界的连通 2-流形 $F$，存在一个孤立的对数可极 3 维奇异点 $(0 \in X(F))$，使得对任意解析解 $p: Y \to X$，有 $R^1p_*\mathcal{O}_Y \cong H^1(F, \mathbb{C})$。
• 解析解 $Y$ 的基本群 $\pi_1(Y)$ 同构于 $\pi_1(F)$，且 $\pi_1(X \setminus \{0\})$ 是 $\pi_1(F)$ 对一个循环群的扩张。
• 只要 $Z$ 是局部完备交且满足某些线丛条件，该构造可将任意光滑代数簇 $Z$ 实现为孤立奇异点 $(0 \in X)$ 的解析解的例外集。
• 所构造的奇异点根据 $Z$ 的奇异点性质为终端或对数可极奇异点，且该构造保持对 canonical 类与上同调的控制。
• 该方法允许将任意基本群 $\pi_1(F)$ 实现为对数可极 3 维奇异点解析解的 $\pi_1(Y)$，表明一般情况下不存在有限性障碍。