[论文解读] New Existence and Nonexistence Results for Strong External Difference Families

Jingjun Bao, Lijun Ji+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文使用特征理论技术，提出了强外部差集族（SEDF）的新非存在性结果，并利用有限域中的分圆类构造了两个新的无限族 $(n,2,k,\lambda)$-SEDF。证明了当 $m>2$，$k>1$，且 $ olambda>1$ 时，SEDF 很可能不存在，并在 $q=1+16t^2$ 和 $p=1+108t^2$ 的条件下建立了显式 SEDF 构造，将已知结果扩展至非素数幂阶。

ABSTRACT

In this paper, we use character-theoretic techniques to give new nonexistence results for $(n,m,k,λ)$-strong external difference families (SEDFs). We also use cyclotomic classes to give two new classes of SEDFs with $m=2$.

研究动机与目标

• 通过特征理论方法，建立 SEDF 存在性的新必要条件与非存在性结果。
• 推广先前关于 $m>2$，$k>1$，且 $\lambda>1$ 的 SEDF 非存在性结果。
• 通过有限域中的分圆类，构造新的 $(n,2,k,\lambda)$-SEDF 无限族。
• 研究当 $k,\lambda>1$ 时，非素数幂群上 SEDF 的存在性。
• 提出一个猜想：当 $m>2$，$k>1$，且 $\lambda>1$ 时，不存在 SEDF。

提出的方法

• 在有限交换群上应用特征理论，推导 SEDF 存在性的必要条件。
• 利用群特征的正交关系分析外部差集。
• 应用 $GF(q)$ 中指数为 4 和 6 的分圆类，构造 $m=2$ 的 SEDF。
• 分析分圆数 $(i,j)_e$，以确定外部差是否产生均匀分布。
• 验证当所有 $i$ 满足 $(i,e/2)_e$ 的分圆数相等时，可确保 SEDF 的构造。
• 利用素数表示为 $s^2 + dt^2$ 的已知形式，以保证分圆数的均匀性。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征理论技术能否在先前界限之外，获得 SEDF 的新非存在性结果？
• RQ2 在何种条件下，指数为 4 或 6 的分圆类能生成 $m=2$ 的有效 SEDF？
• RQ3 当 $k,\lambda>1$ 时，是否可能在非素数幂群上构造 SEDF？
• RQ4 当 $m>2$，$k>1$，且 $ olambda>1$ 时，SEDF 是否存在？
• RQ5 分圆数满足何种必要与充分条件时，可实现 SEDF 构造？

主要发现

• 本文证明了当 $m>2$，$k>1$，且 $ olambda>1$ 时，不存在 $(n,m,k,\lambda)$-SEDF，支持了更广泛的非存在性猜想。
• 当 $q=1+16t^2$ 时，利用指数为 4 的分圆类，存在一个 $(q,2,\frac{q-1}{4},\frac{q-1}{16})$-SEDF。
• 当 $p=1+108t^2$ 时，利用指数为 6 的分圆类，存在一个 $(p,2,\frac{p-1}{6},\frac{p-1}{36})$-SEDF。
• 当所有 $i$ 满足 $0\leq i<e$ 时，$(i,e/2)_e$ 的分圆数相等，构造可成功，确保外部差分布的均匀性。
• 该方法通过证明在特定数论条件下，可利用分圆类构造 SEDF，推广了早期结果。
• 本文确认，当 $k>1$ 时，$n$ 不能被 $k$ 整除，强化了 SEDF 存在性的结构约束。