[论文解读] New Existence Theorems about the Solutions of Some Stochastic Integral Equations

Xuemei Chen, Yingying Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文利用Schauder不动点定理，为随机积分方程建立了新的存在性定理，其条件弱于Banach压缩映射原理所要求的条件。通过在随机过程空间的一个有界、闭合、凸子集上构造一个紧算子，作者在比经典方法更宽松的连续性和有界性假设下，证明了解的存在性（但不包括唯一性）。

ABSTRACT

Picard's iteration has been used to prove the existence and uniqueness of the solution for stochastic integral equations, here we use Schauder's fixed point theorem to give a new existence theorem about the solution of a stochastic integral equation, our theorem can weak some conditions gotten by applying Banach's fixed point theorem.

研究动机与目标

• 利用Schauder不动点定理，为随机积分方程的解建立新的存在性定理。
• 弱化由Banach不动点定理导出的存在性条件。
• 提供一个适用于滤波和金融建模中出现的随机积分方程的框架。
• 证明Schauder定理在比压缩映射原理更宽松的假设下仍能保证解的存在性。

提出的方法

• 将Schauder不动点定理应用于形式为 $ x(t;\omega) = h(t_0;\omega) + \int_a^t \sigma(s,x(s;\omega)) dB(s) + \int_a^t f(s,x(s;\omega)) ds $ 的随机积分方程。
• 定义解空间 $ X = L_{ad}^2([a,b] \times \Omega) $，并定义一个闭合、有界、凸的子集 $ M = \{ X_t \in X : \|X_t\| \leq r \} $。
• 构造一个算子 $ A $，将其映射到自身，定义为积分方程右侧的表达式。
• 通过使用Itô等距性和系数有界性，证明 $ A $ 在 $ L^2 $ 意义下的等连续性和相对紧性，从而证明 $ A $ 是紧算子。
• 通过利用给定条件 (6) 对 $ AX_t $ 的 $ L^2 $-范数进行有界估计，验证 $ A(M) \subseteq M $。
• 建立算子 $ A $ 至少存在一个不动点，该不动点对应于随机积分方程的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Schauder不动点定理能否有效应用于证明随机积分方程解的存在性？
• RQ2 在此背景下，Schauder定理所要求的条件与Banach压缩映射原理所要求的条件相比如何？
• RQ3 对系数 $ f $ 和 $ \sigma $ 的假设是否可以进一步弱化，同时仍能保证解的存在性？
• RQ4 在放松有界性和连续性条件的情况下，随机积分方程的解集是否仍非空？
• RQ5 当无法保证唯一性时，Schauder定理是否仍能提供存在性结果？

主要发现

• 在较弱条件 (6) 下，随机积分方程 (4) 在 $ M $ 中至少存在一个解，该条件涉及系数的上确界和初始数据。
• 条件 (6)，$ 3E[h^2] + 3(1+b-a)(b-a)d^2 \leq r^2 $，通过Schauder定理足以保证存在性，且弱于Banach定理所需的压缩条件 (9)。
• 由积分方程定义的算子 $ A $ 是紧算子，通过证明其在 $ L^2 $-空间中的等连续性和相对紧性得以验证。
• 解集 $ M $ 是闭合且凸的，满足Schauder不动点定理的拓扑要求。
• 与Banach定理不同，Schauder定理不要求 $ f $ 和 $ \sigma $ 满足Lipschitz连续性，仅需连续性和有界性。
• 提供了一个线性方程 $ X_t = \int_0^t uX_s ds + \int_0^t \sigma X_s dB(s) $ 的例子，表明在定理 1.5 的条件下解存在，该情况对应几何布朗运动。