[论文解读] New extremal inclusions and their applications to two-phase composites

Liping Liu, Richard D. James+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Composite Material Mechanics参考文献 46被引用 12

一句话总结

本文提出了一类新的包含形式——E-包含（E-inclusions），通过在恒定磁化或残余应变下保持均匀感应场，将椭球体推广至更一般的情形，通过求解变分不等式来构建具有任意连通性和体积分数的周期性与非周期性包含。其核心贡献在于，这些E-包含使得两相复合材料的有效性能和最优边界能够实现精确求解，将Eshelby的均匀性原理从椭球体扩展至复杂微结构，适用于微力学与材料设计。

ABSTRACT

In this paper, we find a class of special inclusions that have the same property with respect to second order linear partial differential equations as holds for ellipsoids. That is, in the simplest case and in physical terms, constant magnetization of the inclusion implies constant magnetic field on the inclusion. The special inclusions are found as solutions of a simple variational inequality. This variational inequality allows us to prescribe the connectivity and periodicity properties of the inclusions. For example we find periodic arrays of inclusions in two and three dimensions for which constant magnetization of the inclusions implies constant magnetic field on the inclusions. The volume fraction of the inclusions can be any number between zero and one. We find such inclusions with any finite number of components and components that are multiply connected. These special inclusions enjoy many useful properties with respect to homogenization and energy minimization. For example, we use them to give new results on a) the effective properties of two-phase composites and b) optimal bounds and optimal microstructures for two-phase composites.

研究动机与目标

• 识别在恒定磁化或残余应变下仍能保持均匀感应场的新型包含形状，超越椭球体。
• 建立基于变分不等式的框架，以构造具有预定周期性、连通性和体积分数的E-包含。
• 将这些包含应用于推导两相复合材料中有效性能和最优微结构的精确结果。
• 将Eshelby均匀性原理的应用范围扩展至n维空间中的复杂、多连通及周期性微结构。
• 证明E-包含可为非线性复合材料的能量最小化问题提供显式解，即使非线性相的能量函数非二次型亦可。

提出的方法

• E-包含的构造基于求解一个变分不等式，以确保在包含Ω上感应场∇v为常数。
• 该方法可控制包含的连通性（如有限个分量、多连通）和周期性（二维与三维周期性阵列）。
• 解的存在性依赖于存在一个矩阵Q ∈ ℚ，使得包含满足特定积分条件（公式2-26），从而推广椭球情形。
• 该方法利用齐次问题（1-1）与非齐次Eshelby问题（1-2）之间的等价性，其中Ω上∇v为常数可简化后者的求解。
• 对于非线性复合材料，通过利用Ω上∇w的常数性，将能量最小化问题（5-6）简化为代数方程。
• 理论结果通过数值示例和物理类比（包括Ni3Ge析出相中的观测微结构）得到支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 除椭球体外，是否存在其他包含形状在恒定磁化或残余应变下仍能维持均匀感应场？
• RQ2 在所有维度n ≥ 2的周期性与非周期性情形下，满足Eshelby均匀性性质的包含的广义类是什么？
• RQ3 如何系统地构造具有任意体积分数、连通性和周期性的E-包含？
• RQ4 E-包含在多大程度上可实现两相复合材料中有效性能和最优边界的精确解？
• RQ5 E-包含能否用于求解原本难以处理的非线性复合材料能量最小化问题？

主要发现

• E-包含通过推广椭球情形的变分不等式构造而成，可适用于任意有限个分量及多连通包含。
• 在二维与三维中，E-包含的周期性阵列存在，其体积分数可连续取0至1之间的任意值，且保持均匀场性质。
• 当相间刚度张量之差张成对称矩阵的完整空间时，两相复合材料的Hashin-Shtrikman边界被达到，当且仅当微结构为顺序E-包含。
• 对于在包含相上具有严格凸但非二次型能量函数的非线性复合材料，由于Ω上∇w为常数，能量最小化问题可简化为求解代数方程。
• Ni-Ge合金中Ni3Ge析出相的实验显微照片与周期性E-包含相似，表明此类最优形状可能在由弹性能量最小化主导的微结构演化中自然形成。
• E-包含的均匀场性质使得在非线性弹性力学与铁电材料中可实现精确解，通过确保极小化序列的弱极限为均匀场，从而实现非凸能量问题的松弛。