[论文解读] New Families of $p$-ary Sequences of Period $\frac{p^n-1}{2}$ With Low Maximum Correlation Magnitude

Wijik Lee, Ji-Youp Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文构造了两类新的 $p$-元序列族，周期为 $N = \frac{p^n - 1}{2}$，其中 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 为奇素数，$n$ 为奇数。这些序列源自移位为 $d = 4$ 和 $d = N+1$ 的 $p$-元 m-序列的抽取序列，并利用 Weil 不等式对混合指数和进行分析，将最大相关性幅值上界控制在 $\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{N + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$ 以内，序列族大小为 $4N$。该结果在半周期 $p$-元序列的相关性性能方面实现了显著改进。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime such that $p \equiv 3\;{ m mod}\;4$ and $n$ be an odd integer. In this paper, two new families of $p$-ary sequences of period $N = \frac{p^n-1}{2}$ are constructed by two decimated $p$-ary m-sequences $m(2t)$ and $m(dt)$, where $d = 4$ and $d = (p^n + 1)/2=N+1$. The upper bound on the magnitude of correlation values of two sequences in the family is derived using Weil bound. Their upper bound is derived as $\frac{3}{\sqrt{2}} \sqrt{N+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$ and the family size is 4N, which is four times the period of the sequence.

研究动机与目标

• 构造新的 $p$-元序列族，使其最大相关性幅值较低，适用于 CDMA 与密码学应用。
• 解决半周期 $p$-元序列族中族大小不足的问题，此类序列已知可提供更高的系统容量。
• 将基于抽取 m-序列的现有构造方法扩展，利用混合 Weil 不等式获得更优的相关性上界。
• 通过有限域上的指数和与特征和，提供相关性幅值的严格上界。
• 证明所提出的序列族可实现 $4N$ 的族大小，即序列周期的四倍，从而显著提升实际应用价值。

提出的方法

• 通过组合移位并相加的抽取 $p$-元 m-序列 $m(2t)$ 和 $m(dt)$ 构造序列，其中 $d = 4$ 且 $d = N+1 = \frac{p^n + 1}{2}$。
• 利用涉及加法特征与二次乘法特征的混合指数和的 Weil 不等式分析相关性性质。
• 关键步骤是将互相关函数表示为 $\mathbb{F}_q^*$ 上的和，分解为两部分：标准指数和与受二次特征 $\eta(x)$ 加权的和。
• 通过应用定理 4（混合和的 Weil 不等式），得到 $\left| \sum \omega^{\text{Tr}(ax)} \right| \leq \sqrt{q}$ 与 $\left| \sum \eta(x)\omega^{\text{Tr}(ax)} \right| \leq \sqrt{q}$，从而导出最终上界。
• 对于 $d = N+1$ 的情形，通过代换 $x = y^2$ 或 $x = -y^2$ 进行变换，保持结构不变，从而可复用相同的上界推导过程。
• 通过证明任意两个序列均不循环等价（否则其互相关值将为 $N$，超过推导出的上界），从而证明族大小为 $4N$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为半周期 $N = \frac{p^n - 1}{2}$ 构造出具有低相关性与大族大小的新 $p$-元序列族？
• RQ2 此类序列的最大互相关与自相关值幅值的最紧可能上界是什么？
• RQ3 Weil 不等式对加法与乘法特征的混合指数和能否有效应用于 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的 $p$-元序列的相关性上界推导？
• RQ4 选择抽取因子 $d = 4$ 与 $d = N+1$ 如何影响所生成序列族的相关性特性？
• RQ5 能否在保持次优相关性上界的同时实现 $4N$ 的族大小？

主要发现

• 所提序列族的最大相关性幅值上界为 $\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{N + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}$，优于以往构造方法。
• 族大小为 $4N$，即序列周期的四倍，显著提升了 CDMA 应用中的系统容量。
• 当 $p = 3$，$n = 13$ 时，归一化最大相关性 $C_{\text{max}} / \sqrt{N} \approx 2.1650$，仅有 5 个不同的相关值。
• 当 $p = 7$，$n = 9$ 时，归一化最大相关性为 $2.1214$，仅有 6 个不同的值，表明相关性高度集中。
• 该上界基于 Weil 不等式对加法与乘法特征（特别是二次特征 $\eta(x)$）的混合和推导得出。
• 该构造对所有满足 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的奇素数 $p$ 与奇整数 $n$ 均有效，确保在编码理论与通信领域具有广泛适用性。