[论文解读] New Families of Triple Error Correcting Codes with BCH Parameters

Carl Bracken|ArXiv.org|Mar 25, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文通过推广Kasami-Welch定理，引入了具有BCH参数的新一族二元三错误纠正码。通过在$GF(2^n)$上使用一对函数构造码，其中至少一个函数为几乎完美非线性（APN）函数，并证明了这些函数对的广义傅里叶变换仅取五个特定值，从而确保最小距离为7，且与三错误纠正BCH码的重量分布一致。

ABSTRACT

Discovered by Bose, Chaudhuri and Hocquenghem, the BCH family of error correcting codes are one of the most studied families in coding theory. They are also among the best performing codes, particularly when the number of errors being corrected is small relative to the code length. In this article we consider binary codes with minimum distance of 7. We construct new families of codes with these BCH parameters via a generalisation of the Kasami-Welch Theorem.

研究动机与目标

• 通过推广Kasami-Welch定理，构造具有BCH参数的新一族二元三错误纠正码。
• 证明从$GF(2^n)$上特定函数对构造的码具有最小距离7。
• 证明函数对的广义傅里叶变换仅取五个指定值，从而确保期望的重量分布。
• 通过引入满足$\gcd(n,k)=1$或奇数$n=2t+1$的新函数对，扩展已知的三错误纠正码构造方法。
• 验证对偶码具有与经典三错误纠正BCH码相同的重量分布，从而确认其最优性。

提出的方法

• 使用从$GF(2^n)$到自身的三个映射$x$、$f(x)$和$g(x)$构造校验矩阵$H$，其中$f(0)=g(0)=0$，形成$3n \times (2^n - 1)$的矩阵。
• 定义广义傅里叶变换$F^w(a,b,c) = \sum_{x \in GF(2^n)} (-1)^{\text{Tr}(ax + b f(x) + c g(x))}$，以分析对偶码$C^\perp$的重量分布。
• 利用MacWilliams恒等式，从$C^\perp$的重量分布计算$C$的重量分布，依赖于对偶码中已知的五个重量值可推出$C$具有相同的重量分布。
• 应用引理1（关于$\gcd(k,n)=1$时在$GF(2^n)$上多项式解数的结论），以限制后续方程的解数。
• 采用迭代代换和变量变换（如$u = v w$，$r = w + w^{2^{-k}}$，$z = r p$，$d = q + q^{2^{-k}}$）将高次方程简化为可解形式。
• 利用恒等式$\sum_{x} (-1)^{\text{Tr}(\gamma x)} = 0$（当且仅当$\gamma = 0$时例外），以压缩求和并隔离核条件，最终证明仅存在平凡解，从而确认变换仅取五个值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过Kasami-Welch定理的推广形式，构造出具有BCH参数的新一族三错误纠正码？
• RQ2 函数对$\{x^{2^k+1}, x^{2^{tk}+1}\}$（$t=2,3$）且满足$\gcd(n,k)=1$时，是否能生成最小距离为7的码？
• RQ3 当至少一个函数为APN函数时，广义傅里叶变换$F^w(a,b,c)$是否仅限于五个值$0, \pm 2^{(n+1)/2}, \pm 2^{(n+3)/2}$？
• RQ4 若变换值被限制在五个已知值，则能否通过MacWilliams恒等式唯一确定对偶码的重量分布？
• RQ5 通过变量代换对方程组进行迭代约化时，是否仅在所有解均为平凡解时才不产生矛盾，从而确认变换的取值范围受限？

主要发现

• 论文证明，对于函数对$\{x^{2^k+1}, x^{2^{2k}+1}\}$和$\{x^{2^k+1}, x^{2^{3k}+1}\}$，广义傅里叶变换$F^w(a,b,c)$仅取五个值$0, \pm 2^{(n+1)/2}, \pm 2^{(n+3)/2}$，这足以确保码的最小距离为7。
• 该构造生成的码具有参数$[2^n - 1, 2^n - 3n - 1, 7]$，与三错误纠正BCH码的参数一致。
• 对偶码$C^\perp$的重量分布与经典三错误纠正BCH码的对偶码相同，通过MacWilliams恒等式及已知的五个重量值得到验证。
• 证明依赖于迭代变量代换和迹求和恒等式的应用，最终证明推导出的方程仅有平凡解，若存在非平凡解则导致矛盾。
• 该方法确认，当$\gcd(n,k)=1$且$n$为奇数时，由此类函数对构造的码在三错误纠正中为最优。
• 论文确立了新一族码对已知构造的推广，包括经典BCH码对$\{x^3, x^5\}$以及先前工作中提出的非BCH码，扩展了其适用范围。