[论文解读] New findings for the old problem: Exact solutions for domain walls in coupled real Ginzburg-Landau equations

Boris A. Malomed|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 70被引用 58

一句话总结

本文为耦合实数吉茨堡-朗道（GL）方程中的畴壁（DW）态提供了新的精确解析解，适用于瑞利-贝纳德对流、非线性光学以及玻色-爱instein凝聚体（BECs）等系统。研究推导出在某一组分中扩散消失的非对称扩散系统中的精确非对称DW解，对称DW解与线性耦合，含亮孤子的复合态，以及反向传播波的DW样源/汇解——每种解均以至少一个自由参数构成连续族，扩展了此前仅有的孤立解。

ABSTRACT

This work reports new exact solutions for domain-wall (DW) states produced by a system of coupled real Ginzburg-Landau (GL) equations which model patterns in thermal convection, optics, and Bose-Einstein condensates (BECs). An exact solution for symmetric DW was known for a single value of the cross-interaction coefficient, G = 3 (defined so that its self-interaction counterpart is 1). Here an exact asymmetric DW is obtained for the system in which the diffusion term is absent in one component. It exists for all G > 1. Also produced is an exact solution for DW in the symmetric real-GL system which includes linear coupling. In addition, an effect of a trapping potential on the DW is considered, which is relevant to the case of BEC. In a system of three GL equations, an exact solution is obtained for a composite state including a two-component DW and a localized state in the third component. Bifurcations which create two lowest composite states are identified too. Lastly, exact solutions are found for the system of real GL equations for counterpropagating waves, which represent a sink or source of the waves, as well as for a system of three equations which includes a standing localized component.

研究动机与目标

• 将已知的耦合实数吉茨堡-朗道（GL）方程中精确畴壁（DW）解的类别扩展至此前仅知的G = 3处孤立对称解之外。
• 解决缺乏非对称系统精确解的问题，特别是当某一组分中扩散为零时。
• 研究线性耦合与阱势在生成新族DW态中的作用。
• 构建包含两组分DW与第三组分中局域态（如亮孤子）的复合解。
• 为建模反向传播波的系统提供精确解，包括源与汇模态，此前仅通过数值方法研究过。

提出的方法

• 利用变分法与特定参数对称性下的试探函数方法，推导耦合实数GL方程的精确解析解。
• 应用李雅普诺夫泛函形式化方法，确保梯度系统中解的稳定性并指导解的构造。
• 采用行波试探函数与对称性约化，将PDE系统简化为用于求解定态的ODE系统。
• 引入组分间的线性耦合项，以模拟BEC与光学系统中组分间的相互作用。
• 引入谐振阱势以模拟实验中的BEC系统，导出在此条件下的精确解。
• 通过引入与两组分DW耦合的局域第三组分，将方法扩展至三组分系统，采用匹配渐近法或直接求解技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在某一组分中无扩散的耦合实数GL系统中推导出精确非对称畴壁解？
• RQ2 在组分间存在线性耦合的对称系统中，精确DW解存在的条件是什么？
• RQ3 能否精确构造出由两组分DW与第三组分中局域态组成的复合态？
• RQ4 是否存在精确解用于建模反向传播波的系统，如双组分流体对流中的源或汇模态？
• RQ5 分岔如何生成三组分GL系统中最低能量的复合态？

主要发现

• 推导出在某一组分中无扩散的系统中精确非对称畴壁解，对所有交叉相互作用系数G > 1均有效。
• 在组分间存在线性耦合的情况下，获得精确对称畴壁解，形成解的连续族。
• 构建出由两组分DW与第三组分中亮孤子组成的复合态，代表了拓扑激发与局域激发的束缚态。
• 在用于建模双组分流体中行进波对流的GL方程系统中，发现源与汇模态的精确解。
• 为三重方程系统推导出一种新复合解，其中由两股反向传播组分形成扭结或源，与第三组分中的驻波局域模态耦合。
• 所有新解均以至少一个自由参数构成连续族，与此前已知的G = 3处孤立解形成鲜明对比。