[论文解读] New first order Lagrangian for General Relativity

Yannick Herfray, Kirill Krasnov|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种在4维时空中的广义相对论的新一阶规范理论，采用SO(3,C)连接和取值于李代数的二形式场，无需辅助拉格朗日乘子。该拉格朗日量在α=0时插值于拓扑引力，在λ=0时插值于反自对偶引力；对于一般α,λ值，其描述了带有宇宙学常数和拓扑项的完整广义相对论，提供了一种与杨-米尔斯理论形变结构并行的统一一阶描述。

ABSTRACT

We describe a new BF-type first-order in derivatives Lagrangian for General Relativity. The Lagrangian depends on a connection field as well as a Lie-algebra valued two-form field, with no other fields present. There are two free parameters, which translate into the cosmological constant and the coefficient in front of a topological term. When one of the parameters is set to zero, the theory becomes topological. When the other parameter is zero, the theory reduces to the (anti-) self-dual gravity. Thus, our new Lagrangian interpolates between the topological and anti-self-dual gravities. It also interprets GR as the (anti-) self-dual gravity with an extra quadratic in the auxiliary two-form field term added to the Lagrangian, precisely paralleling the situation in Yang-Mills theory.

研究动机与目标

• 构建一个广义相对论的一阶拉格朗日量，避免使用拉格朗日乘子场，与普莱班斯基的构造方式不同。
• 在单一拉格朗日量框架内统一描述拓扑引力与反自对偶引力。
• 提供一种与杨-米尔斯理论中形变结构并行的一阶广义相对论表述。
• 通过基于反自对偶引力的可积结构，为完整广义相对论的扭量表述奠定基础。
• 通过将拓扑与反自对偶部分与已知的量子引力模型联系起来，探索与自旋泡沫量化的关系。

提出的方法

• 拉格朗日量构造为 $\mathcal{L}_{\text{GR}}[B,A] = B^i \wedge F^i + \frac{\alpha}{2}\left(\text{Tr}(\sqrt{B^i \wedge B^j})\right)^2 - \frac{\lambda}{2}B^i \wedge B^i$，其中α和λ为参数。
• 第一项为标准的BF项；第二项在二形式场中引入非多项式平方根结构；第三项为宇宙学项。
• 当α=0时，理论退化为已知的拓扑场论；当λ=0时，退化为反自对偶引力，一般α,λ ≠ 0时对应完整广义相对论。
• 通过积分掉二形式场，导出纯连接表述，得到 $\mathcal{L}_{\text{GR}}[A] = \frac{\alpha}{2\lambda(\lambda - 3\alpha)}\left(\text{Tr}(\sqrt{F^i \wedge F^j})\right)^2 + \frac{1}{2\lambda}F^i \wedge F^i$，确认了广义相对论的动力学。
• 参数λ控制宇宙学常数，α控制拓扑项，牛顿常数设为1。
• 证明λ→0极限强制曲率满足反自对偶条件，确认反自对偶引力极限成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入拉格朗日乘子场的前提下，构造一个广义相对论的一阶拉格朗日量，同时仍能捕捉到带有宇宙学常数的完整广义相对论动力学？
• RQ2 在二形式场中引入非多项式平方根项，如何与广义相对论及其形变结构相关联？
• RQ3 广义相对论的反自对偶引力部分能否自然地嵌入一个更大的拉格朗日框架中，同时包含完整广义相对论与拓扑引力？
• RQ4 是否存在一种一致的方法，将拓扑与反自对偶引力部分统一于一个单一的第一类作用量中，使用同一组场？
• RQ5 该新拉格朗日量框架能否支持完整广义相对论的扭量表述，类似于已知的自对偶杨-米尔斯理论的扭量作用量？

主要发现

• 所提出的拉格朗日量 $\mathcal{L}_{\text{GR}}[B,A]$ 对于参数α和λ的一般取值，描述了带有非零宇宙学常数和拓扑项的广义相对论。
• 当α=0时，理论退化为已知的拓扑场论；当λ=0时，退化为反自对偶引力，确认了其在这些极限之间的插值行为。
• 通过积分掉二形式场导出的纯连接表述与已知的带有宇宙学常数的广义相对论纯连接作用量一致，确认了理论的一致性。
• 当λ→0时，纯连接拉格朗日量发散，除非曲率矩阵的本征值趋于简并，而这一条件恰好对应于反自对偶条件。
• 该拉格朗日量的结构与杨-米尔斯理论类似，其中自对偶杨-米尔斯理论通过在自对偶二形式场中加入二次项而发生形变。
• 该新表述为通过从可积的反自对偶引力部分出发并添加形变项，进而实现完整广义相对论的扭量描述开辟了道路，类似于杨-米尔斯理论中的MHV规则。