[论文解读] New fixed-circle results related to Fc-contractive and Fc-expanding mappings on metric spaces

Nabil Mlaiki, Nihal Yılmaz Özgür+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 27被引用 13

一句话总结

本文引入了度量空间上自映射的新类——$F_c$-压缩与$F_c$-扩张映射，保证了不动圆（及不动圆盘）的存在，推广了经典不动点理论。通过定义涉及$F_c$-函数的新压缩条件，作者证明了某些圆或圆盘在这些映射下是不变的，提供了适用于具有不动点结构的神经网络激活函数的几何洞察。

ABSTRACT

The fixed-circle problem is a recent problem about the study of geometric properties of the fixed point set of a self-mapping on metric (resp. generalized metric) spaces. The fixed-disc problem occurs as a natural consequence of this problem. Our aim in this paper, is to investigate new classes of self-mappings which satisfy new specific type of contraction on a metric space. We see that the fixed point set of any member of these classes contains a circle (or a disc) called the fixed circle (resp. fixed disc) of the corresponding self-mapping. For this purpose, we introduce the notions of an $F_{c}$-contractive mapping and an $F_{c}$-expanding mapping. Activation functions with fixed circles (resp. fixed discs) are often seen in the study of neural networks. This shows the effectiveness of our fixed-circle (resp. fixed-disc) results. In this context, our theoretical results contribute to future studies on neural networks.

研究动机与目标

• 通过研究自映射非唯一不动点形成的几何结构——特别是圆与圆盘，来扩展不动点理论。
• 通过引入一类新映射填补现有压缩原理中的空白，确保不动圆或不动圆盘的存在而非孤立不动点。
• 为神经网络应用提供理论基础，其中具有不动圆的激活函数可建模稳定的网络行为。
• 基于$F_c$-函数的新函数框架，推广先前的不动圆定理。
• 探讨多个映射共享公共不动圆的可能性，并将结果推广至广义度量空间，如$M_s$-度量空间。

提出的方法

• 通过满足特定单调性与极限条件的函数$F_c:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$，引入$F_c$-压缩映射的概念。
• 定义涉及距离$d(u, fu)$与函数$\varphi(u) = d(u, u_0)$的$F_c$-压缩条件，确保收敛至不动圆$C_{u_0, \rho}$。
• 将$F_c$-扩张映射作为$F_c$-压缩映射的对偶，使用反向不等式以确保不动圆不变性。
• 建立$C_{u_0, \rho}$为不动圆的充分条件，包括$ d(fu, u_0) \geq \rho $（压缩情形）或$ d(fu, u_0) \leq \rho $（扩张情形），并结合$F_c$-不等式。
• 将结果应用于神经网络中的激活函数，表明如ReLU等函数在所提框架下可表现出不动圆行为。
• 通过在$M_s$-度量空间中定义圆为$m_s(u_0, u, u) - m_{s_{u_0,u,u}} = \rho$，将理论推广至$M_s$-度量空间，并提出关于此类空间中$F_c$-型条件下不动圆存在性的开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$F_c$-压缩或$F_c$-扩张映射会在度量空间中固定整个圆$C_{u_0, \rho}$？
• RQ2 所提出的$F_c$-条件能否用于表征神经网络中常用激活函数的不动圆？
• RQ3 两个或多个自映射共享公共不动圆的必要与充分条件是什么？
• RQ4 如何将不动圆定理推广至$M_s$-度量空间？$F_c$-型条件是否能确保此类空间中不动圆的存在？
• RQ5 不动圆结构对循环神经网络的稳定性和收敛性有何影响？

主要发现

• 本文证明：若自映射$f$满足对所有$u \in C_{u_0, \rho}$有$d(u, fu) \leq \varphi(u) - \varphi(fu)$且$d(fu, u_0) \geq \rho$，则$C_{u_0, \rho}$是$f$的不动圆，推广了定理1.1。
• 引入$F_c$-压缩条件：存在$\tau > 0$使得$F_c(d(fu, u)) \geq F_c(d(u, u_0)) + \tau$，在适当约束下可确保$C_{u_0, \rho}$为不动圆。
• 对于$F_c$-扩张映射，若条件$F_c(d(fu, u)) \geq F_c(d(u, u_0)) + \tau$与$d(fu, u_0) \leq \rho$同时成立，则$C_{u_0, \rho}$为不动圆。
• 结果表明ReLU激活函数在$L = 0$时满足$F_c$-压缩条件，对应不动圆$C_{u_0, \rho} = \{0, 2u_0\}$，证实其具有不动圆行为。
• 本文建立：不动圆$C_{u_0, \rho}$的中心$u_0$也是映射$f$的不动点，即$fu_0 = u_0$。
• 针对$M_s$-度量空间中$F_c$-型条件下不动圆存在的问题提出开放问题，包括$m_s(u, fu, f^2u) \leq k m_s(u_0, u, fu)$与$t > 0$相关的$F$-不等式。