[论文解读] New formulations and branch-and-cut procedures for the longest induced path problem

Ruslán G. Marzo, Rafael A. Melo+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2021

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一句话总结

本文提出了两种针对最长诱导路径问题（LIPP）的新整数规划公式，均包含指数级数量的约束：一种基于显式环路消除（cec），另一种基于割集约束（cut）。尽管 cec 在理论上较弱，但计算实验表明其性能优于所有现有公式，在时间限制内求解了 1,065 个基准实例中的 1,064 个至最优解，且显著降低了中位数求解时间。此外，引入热启动策略进一步提升了在困难实例上的性能。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G=(V,E)$, the longest induced path problem (LIPP) consists of obtaining a maximum cardinality subset $W\subseteq V$ such that $W$ induces a simple path in $G$. In this paper, we propose two new formulations with an exponential number of constraints for the problem, together with effective branch-and-cut procedures for its solution. While the first formulation (cec) is based on constraints that explicitly eliminate cycles, the second one (cut) ensures connectivity via cutset constraints. We compare, both theoretically and experimentally, the newly proposed approaches with a state-of-the-art formulation recently proposed in the literature. More specifically, we show that the polyhedra defined by formulation cut and that of the formulation available in the literature are the same. Besides, we show that these two formulations are stronger in theory than cec. We also propose a new branch-and-cut procedure using the new formulations. Computational experiments show that the newly proposed formulation cec, although less strong from a theoretical point of view, is the best performing approach as it can solve all but one of the 1065 benchmark instances used in the literature within the given time limit. In addition, our newly proposed approaches outperform the state-of-the-art formulation when it comes to the median times to solve the instances to optimality. Furthermore, we perform extended computational experiments considering more challenging and hard-to-solve larger instances and evaluate the impacts on the results when offering initial feasible solutions (warm starts) to the formulations.

研究动机与目标

• 为一般图中的 NP-难最长诱导路径问题（LIPP）开发更强且更高效的公式。
• 设计有效的分支定界程序，利用新约束和割平面启发式算法。
• 评估热启动（初始可行解）对求解具有挑战性的大规模 LIPP 实例的影响。
• 将新公式的理论强度与计算性能与现有最优公式进行比较。
• 将实证评估扩展至一组新的、更具挑战性的 23 个大规模实例。

提出的方法

• 提出两种新的整数规划公式：cec（环路消除约束）和 cut（基于割集的连通性约束），两者均使用一个虚拟顶点 s 来连接路径的端点。
• cec 公式通过在顶点子集上施加约束，显式禁止环路。
• cut 公式通过强制要求每个真子集至少有一条边连接到其补集，来确保连通性。
• 实现一个分支定界框架，通过动态分离团不等式，既可预先分离所有极大团，也可通过启发式分离过程实现。
• 通过提供初始可行解，采用热启动策略以改善收敛速度并减少最优性间隙的波动性。
• 在 1,065 个标准基准实例和 23 个新困难实例上进行广泛计算实验，将 cec、cut 及其热启动变体与 Böckler 等人（2020）提出的最优公式进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 新公式（cec 与 cut）的理论多面体性质与 Böckler 等人（2020a）提出的最优公式相比如何？
• RQ2 尽管 cec 在理论上较弱，但其在实践中表现更优，是否归因于更紧的根松弛或更优的分支行为？
• RQ3 热启动在多大程度上提升了分支定界算法在困难实例上的性能与鲁棒性？
• RQ4 新公式在更大、更具挑战性的实例上表现如何，这些实例是先前方法无法求解的？
• RQ5 团不等式分离策略对整体解质量与求解时间有何影响？

主要发现

• cut 公式所定义的多面体与 Böckler 等人（2020a）提出的最优公式在数学上完全等价。
• cec 公式所定义的多面体严格弱于 cut 公式，意味着 cut 在理论上更强。
• cec 公式在时间限制内将 1,065 个基准实例中的 1,064 个求解至最优，优于所有其他公式。
• cec 的中位数求解时间显著低于最优公式，表明其具有更优的实际性能。
• 热启动降低了最优性间隙的波动性，提升了性能稳定性，尤其对 cut 公式效果显著，如相对间隙的箱线图所示。
• 在一组新的 23 个困难实例上，带热启动的 cec 在目标值、上界和间隙方面均取得最佳结果，其中 15 个实例的最优性间隙得到改善。