[论文解读] New foundations of reasoning via real-valued first-order logics

Guillermo Badía, Ronald Fagin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2022

Advanced Algebra and Logic被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于实值多维句子（MD-句子）的首阶与模态推理新框架，将先前的命题工作扩展至处理部分真值值与复杂真值组合。该框架为固定域与可变域情形提供了可靠且完备的公理系统，包括有限值版本的0-1律，并在尽管此类设定下有效性不可递归的情况下，仍建立了有限域上的完备性。

ABSTRACT

Many-valued logics in general, and fuzzy logics in particular, usually focus on a notion of consequence based on preservation of full truth, typical represented by the value 1 in the semantics given the real unit interval [0,1]. In a recent paper (\emph{Foundations of Reasoning with Uncertainty via Real-valued Logics}, arXiv:2008.02429v2, 2021), Ronald Fagin, Ryan Riegel, and Alexander Gray have introduced a new paradigm that allows to deal with inferences in propositional real-valued logics based on multi-dimensional sentences that allow to prescribe any truth-values, not just 1, for the premises and conclusion of a given entailment. In this paper, we extend their work to the first-order (as well as modal) logic of multi-dimensional sentences. We give axiomatic systems and prove corresponding completeness theorems, first assuming that the structures are defined over a fixed domain, and later for the logics of varying domains. As a by-product, we also obtain a 0-1 law for finitely-valued versions of these logics.

研究动机与目标

• 将实值逻辑中多维句子的命题框架扩展至首阶与模态设定。
• 解决标准多值逻辑仅关注完全真值（值为1）而忽略部分真值组合的局限性。
• 为首阶实值逻辑中的有效推理提供统一的、参数化的公理化体系，包括非递归可枚举的情形。
• 为固定域与可变域情形证明完备性定理，并为有限值变体建立0-1律。
• 证明当系统被限制在有限域时，其保持有限性且完备，尽管在一般情况下不可判定。

提出的方法

• 将多维句子（MD-句子）的语法扩展至首阶与模态逻辑，其中每个MD-句子形式为⟨σ₁,…,σₖ; S⟩，S ⊆ [0,1]ᵏ 表示允许的真值组合集合。
• 定义语义，使得一个MD-句子在模型中为真，当且仅当其组成公式的真值元组属于集合S。
• 构建一个有限公理系统，其规则捕捉MD-句子之间的逻辑蕴含，包括处理真值集合的广义规则(7)*。
• 通过类比命题情形的策略，利用极大一致集与模型构造，证明固定域下的完备性。
• 通过移除域大小限制，将系统适应于可变域，并证明其在所有域上均完备。
• 应用Oberschelp的结果并从经典首阶逻辑进行约化，证明规则(7)*中S′ = ∅的可满足性是不可判定的，从而解释其非递归性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为首阶实值逻辑开发一种统一的、参数化的公理化体系，以捕捉超越完全真值（1）的部分真值值的推理？
• RQ2 如何在保持可靠与完备的前提下，将多维句子扩展至首阶与模态逻辑？
• RQ3 这些系统在有限域上的逻辑行为如何？尽管存在不可判定性，完备性是否仍可保持？
• RQ4 这些首阶多维逻辑的有限值版本是否满足0-1律？
• RQ5 系统能否被调整以处理可变域，同时保持完备性与有限性推理？

主要发现

• 为固定域上的首阶实值逻辑建立了完整且可靠的公理系统，使用多维句子，推广了命题情形的完备性结果。
• 该系统不可递归可枚举，因为规则(7)*中检查真值集合S′是否为空是不可判定的，此结论通过从经典首阶逻辑中有限有效性问题的约化得到证明。
• 为逻辑的有限值版本证明了0-1律，表明渐近而言，几乎所有句子要么几乎必然为真，要么几乎必然为假。
• 也证明了该逻辑在任意域（可变域语义）上的完备性，将框架扩展至固定大小模型之外。
• 当限制在有限域时，系统变为有限的且完备的，Γ ⊢ θ 当且仅当 Γ ⊨ finite θ，尽管系统在一般情况下非递归。
• 该框架涵盖了并推广了理性Pavelka逻辑及其他含真值常量的模糊逻辑，通过允许[0,1]ᵏ的任意子集S作为信息集，提供了更强的表达力。