[论文解读] New fractional integral unifying six existing fractional integrals

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用 49

一句话总结

本文提出了一种新的广义分数阶积分，通过参数 $\rho$、$\alpha$、$\beta$、$\eta$ 和 $\kappa$ 将六种现有的分数阶积分——Riemann-Liouville、Hadamard、Erdélyi-Kober、Katugampola、Weyl 和 Liouville——统一为单一算子。主要贡献在于提出了一种统一的积分形式，该形式在特定参数取值下可退化为每种经典算子，并证明了其半群性、有界性、平移性和分部积分性质。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new fractional integral that generalizes six existing fractional integrals, namely, Riemann-Liouville, Hadamard, Erdélyi-Kober, Katugampola, Weyl and Liouville fractional integrals in to one form. Such a generalization takes the form \[ \left({}^ρ\mathcal{I}^{α, β}_{a+;η, κ}f ight)(x)=\frac{ρ^{1-β}x^κ}{Γ(α)}\int_a^x \frac{τ^{ρη+ρ-1}}{(x^ρ-τ^ρ)^{1-α}}f(τ) ext{d}τ, \quad 0\leq a < x < b \leq \infty. \] A similar generalization is not possible with the Erdélyi-Kober operator though there is a close resemblance with the operator in question. We also give semigroup, boundedness, shift and integration-by-parts formulas for completeness.

研究动机与目标

• 将六种现有的分数阶积分——Riemann-Liouville、Hadamard、Erdélyi-Kober、Katugampola、Weyl 和 Liouville——统一为一个广义算子。
• 建立广义分数阶积分的完整框架，包括有界性、半群性、平移性和分部积分性质。
• 证明新算子在特定参数极限下可退化为已知的经典分数阶积分。
• 为后续工作中对应的广义分数阶导数提供基础，该导数将统一六种经典的分数阶导数。

提出的方法

• 提出一种广义的左侧行分数阶积分：$\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x) = \frac{\rho^{1-\beta}x^{\kappa}}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x \frac{\tau^{\rho(\eta+1)-1}}{(x^{\rho}-\tau^{\rho})^{1-\alpha}} f(\tau)\,d\tau$。
• 通过变量替换 $u = (\tau/x)^\rho$ 将积分表达为类似 Riemann-Liouville 的形式：$\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x) = \frac{x^{\kappa+\rho(\alpha+\eta)}}{\rho^{\beta}\Gamma(\alpha)}\int_0^1 (1-u)^{\alpha-1} u^{\eta} f(xu^{1/\rho})\,du$。
• 利用极限 $\rho \to 0^+$ 和洛必达法则，证明当 $\kappa=0$、$\beta=\alpha$ 时，算子退化为 Hadamard 积分。
• 建立半群性质：${}^{\rho}I^{\alpha_1,\beta_1}_{a+;\eta_1,\kappa_1} \circ {}^{\rho}I^{\alpha_2,\beta_2}_{a+;\eta_2,-\rho\eta_1} f = {}^{\rho}I^{\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2}_{a+;\eta_2,\kappa_1} f$。
• 证明广义的分部积分公式：$\int_a^b x^{\rho-1} f(x) \left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}g\right)(x) dx = \int_a^b x^{\rho-1} g(x) \left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{b-;\eta,\kappa}f\right)(x) dx$。
• 引入广义积分的右侧行版本，并讨论其性质，指出若引入额外参数 $\omega$，则结果将更加复杂。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个单一的分数阶积分算子，使其广义化六种经典分数阶积分：Riemann-Liouville、Hadamard、Erdélyi-Kober、Katugampola、Weyl 和 Liouville？
• RQ2 在新广义积分中，哪些参数取值可使其退化为六种经典分数阶积分？
• RQ3 新算子是否满足基本性质，如半群性、有界性、平移性和分部积分性？
• RQ4 广义分数阶积分是否与已知极限一致，例如在 $\rho \to 0^+$ 时退化为 Hadamard 积分？
• RQ5 新算子能否作为统一分数阶导数理论的基础？

主要发现

• 广义分数阶积分 $\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x)$ 通过参数特化，统一了六种经典分数阶积分。
• 当 $\rho=1$、$\eta=0$、$\kappa=0$ 时，算子退化为 Riemann-Liouville 分数阶积分。
• 当 $\beta=\alpha$ 时，算子退化为 Katugampola 分数阶积分。
• 取极限 $\rho \to 0^+$，并令 $\kappa=0$、$\beta=\alpha$，通过洛必达法则可得 Hadamard 分数阶积分。
• 当 $\beta=0$、$\kappa = -\rho(\alpha + \eta)$ 时，算子退化为 Erdélyi-Kober 型积分。
• 半群性质成立：在适当条件下，$\left({}^{\rho}I^{\alpha_1,\beta_1}_{a+;\eta_1,\kappa_1} \circ {}^{\rho}I^{\alpha_2,\beta_2}_{a+;\eta_2,-\rho\eta_1}\right)f = {}^{\rho}I^{\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2}_{a+;\eta_2,\kappa_1}f$。