[论文解读] New Generalized Fixed Point Results on $S_{b}$-Metric Spaces

Ni̇hal Taş, Nihal Yılmaz Özgür|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文将巴拿赫压缩映射原理推广到 $S_b$-度量空间，引入了一种针对完备 $S_b$-度量空间的新不动点定理，其压缩条件涉及两个参数 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$。主要贡献是提出了一项广义不动点结果，扩展了经典定理，并应用于证明在满足 $\max\sum|a_{ij}| < h < 1$ 的求和范数条件下线性方程组解的存在性与唯一性。通过一个反例说明该结果严格推广了原始的巴拿赫原理。

ABSTRACT

Recently $S_{b}$-metric spaces have been introduced as the generalizations of metric and $S$-metric spaces. In this paper we investigate some basic properties of this new space. We generalize the classical Banach's contraction principle using the theory of a complete $S_{b}$-metric space. Also we give an application to linear equation systems using the $S_{b}$-metric which is generated by a metric.

研究动机与目标

• 在扩展了度量空间和 $S$-度量空间的 $S_b$-度量空间背景下，推广巴拿赫压缩映射原理。
• 在完备 $S_b$-度量空间上，针对自映射建立一个新不动点定理，其条件为涉及两个参数 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的广义压缩条件。
• 通过从 $\mathbb{R}^n$ 上的 $\ell^1$-范数构造一个 $S_b$-度量，展示新不动点结果在分析线性方程组中的适用性。
• 通过提供一个反例，证明新定理严格推广了经典的巴拿赫压缩映射原理，即在新条件成立但经典条件不成立的情况下。

提出的方法

• 通过函数 $S_b: X \times X \times X \to [0,\infty)$ 定义 $S_b$-度量空间，满足 $S_b(x,y,z) = 0$ 当且仅当 $x = y = z$，并满足 $b$-型三角不等式：对所有 $x,y,z,a \in X$ 和 $b \geq 1$，有 $S_b(x,y,z) \leq b[S_b(x,x,a) + S_b(y,y,a) + S_b(z,z,a)]$。
• 引入广义压缩条件：$S_b(Tx,Tx,Ty) \leq \alpha_1 S_b(x,x,y) + \alpha_2 \max\{ S_b(Tx,Tx,x), S_b(Tx,Tx,y), S_b(Ty,Ty,y), S_b(Ty,Ty,x) \}$，其中 $\alpha_1 + b\alpha_2 < 1$。
• 利用柯西序列论证和完备性，证明在广义压缩条件下，完备 $S_b$-度量空间上的自映射 $T$ 存在唯一不动点。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 上构造一个 $S_b$-度量 $S_1(x,y,z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| + \sum_{i=1}^n |y_i - z_i|$，该度量源于 $\ell^1$-范数，用于分析线性系统。
• 将不动点定理应用于线性系统 $Ax + b = x$，通过证明映射 $T(x) = Ax + b$ 在 $\max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}| < h < 1$ 条件下满足广义压缩条件，从而保证唯一解的存在。
• 提供一个反例，其中新条件成立（$\alpha_1 = 0$，$\alpha_2 = 1/5$），但经典巴拿赫条件不成立，从而证明该推广是严格的。

实验结果

研究问题

• RQ1 巴拿赫压缩映射原理能否推广到 $S_b$-度量空间？因为 $S_b$-度量空间是 $S$-度量空间和度量空间的更广类。
• RQ2 在 $S_b$-度量空间中，确保不动点存在与唯一的广义压缩条件的精确形式是什么？
• RQ3 新不动点定理是否严格推广了经典巴拿赫压缩映射原理？如果是，如何通过反例加以证明？
• RQ4 新广义不动点定理能否用于证明 $\mathbb{R}^n$ 中线性方程组解的存在性与唯一性？
• RQ5 $S_b$-度量结构与 $\ell^1$-范数之间有何关系？这一关系如何使该定理能够应用于线性系统？

主要发现

• 本文在参数 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 满足 $\alpha_1 + b\alpha_2 < 1$ 的广义压缩条件下，建立了完备 $S_b$-度量空间上的新不动点定理，确保了不动点的存在性与唯一性。
• 新定理推广了经典巴拿赫压缩映射原理：当 $\alpha_2 = 0$ 且 $\alpha_1 < 1/b^2$ 时，条件退化为巴拿赫压缩条件，但新条件更弱。
• 提供了一个反例，其中广义条件成立（$\alpha_1 = 0$，$\alpha_2 = 1/5$），但经典巴拿赫条件不成立，从而证明该推广是严格的。
• 将不动点定理应用于线性系统 $Ax + b = x$ 于 $\mathbb{R}^n$，证明若 $\max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}| < h < 1$，则系统有唯一解。
• $S_b$-度量 $S_1(x,y,z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| + \sum_{i=1}^n |y_i - z_i|$ 由 $\ell^1$-范数构造，且映射 $T(x) = Ax + b$ 在给定矩阵范数条件下满足广义压缩条件。
• 证明显示 $S_1(Tx,Tx,Ty) \leq h \cdot S_1(x,x,y)$ 对于 $h < 1$ 成立，从而确认了压缩性，因此存在唯一不动点，即线性系统的唯一解。