[论文解读] New Geometrical Approach to Superstrings

Alexander Belopolsky|ArXiv.org|Mar 26, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用 37

一句话总结

本文提出了一种基于微分形式与超流形上积分理论的新几何框架，用于超弦振幅的计算，实现了无需依赖原初顶点算符即可直接计算多圈振幅。该方法通过显式积分证明了稀释子定理，并揭示了弦背景中隐藏的奇对称性，尤其通过缺乏原初代表的离散态体现。

ABSTRACT

We present a new geometrical approach to superstrings based on the geometrical theory of integration on supermanifolds. This approach provides an effective way to calculate multi-loop superstring amplitudes for arbitrary backgrounds. It makes possible to calculate amplitudes for the physical states defined as BRST cohomology classes using arbitrary representatives. Since the new formalism does not rely on the presence of primary representatives for the physical states it is particulary valuable for analyzing the discrete states for which no primary representatives are available. We show that the discrete states provide information about symmetries of the background including odd symmetries which mix Bose and Fermi states. The dilaton is an example of a non-discrete state which cannot be covariantly represented by a primary vertex. The new formalism allows to prove the dilaton theorem by a direct calculation.

研究动机与目标

• 开发一种用于在任意背景中计算多圈超弦振幅的几何形式体系。
• 消除振幅计算中对原初顶点算符的需求，特别是针对离散态。
• 提供一个上同调框架，用于识别弦背景的全局对称性，包括混合玻色子与费米子态的奇对称性。
• 通过超流形上的积分，提供稀释子定理的直接几何证明。
• 将超流形上的微分形式理论推广至包含极点和像图象变换操作的情形。

提出的方法

• 将超流形上的微分形式扩展至包含目标空间中的极点，从而实现如图象变换等新操作。
• 引入超流形的de Rham复形类比，具有双重次数（偶数与奇数），推广了鬼数概念。
• 利用图象变换算符关联不同奇次数的微分形式，这对超弦BRST上同调至关重要。
• 将几何积分理论应用于共形超曲面，通过模空间上的最高阶微分形式定义振幅。
• 使用局部坐标和共形超场Φ表达弦振幅，其中ωχ与ωD形式通过dωχ = ωD相关联。
• 在对奇变量积分后，对约化空间应用Gauss-Bonnet定理，得到曲率形式与测地线形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖原初顶点算符的情况下计算超弦振幅？
• RQ2 超弦在任意背景中的BRST上同调背后存在何种几何结构？
• RQ3 缺乏原初代表的离散态如何编码背景对称性的信息？
• RQ4 能否通过超流形上的几何积分直接证明稀释子定理？
• RQ5 图象变换算符在超流形的de Rham复形中扮演何种角色？

主要发现

• 通过几何积分直接证明了稀释子定理，表明振幅对稀释子场的依赖性通过曲率与测地线形式体现。
• 在对奇变量积分后，形式ωD对应于曲率二形式R(2) = ∂̄∂̄logρ。
• 形式ωχ变为测地线曲率k = dφ + dz ∂logρ − d̄z ̄∂logρ，其中相位φ与边界切向量相关。
• 在坐标变换w → w exp(iφ)下，ωχ的相位依赖性被证明是非全局的，解释了为何ωχ不能全局定义。
• 若ωχ为全局定义，则ωχ与ωD的积分和应为零，但其相位依赖性阻止了这一点，从而保持了非零振幅。
• 该形式体系揭示了混合玻色子与费米子态的奇对称性，其中离散态充当探测此类对称性的工具。