[论文解读] New Hamiltonian formalism and Lagrangian representations for integrable hydrodynamic type systems

M. V. Pavlov|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 42被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于共轭曲线坐标网和反平坦性条件的可积流体类型系统的新型哈密顿形式，建立了与杜勃罗文-诺维科夫和费拉蓬托夫形式等价的“镜像”结构。在‘镜像-平坦’情形下推导出局部拉格朗日表示，并证明了所有奇数阶局部哈密顿结构的无限层级的存在性，推广了努茨科-奥尔弗和谢夫捷尔-特舒科夫系统。

ABSTRACT

New Hamiltonian formalism based on the theory of conjugate curvilinear coordinate nets is established. All formulas are ``mirrored'' to corresponding formulas in the Hamiltonian formalism constructed by B.A. Dubrovin and S.P. Novikov (in a flat case) and E.V. Ferapontov (in a non-flat case). In the ``mirrored-flat'' case the Lagrangian formulation is found. Multi-Hamiltonian examples are presented. In particular Egorov's case, generalizations of local Nutku--Olver's Hamiltonian structure and corresponding Sheftel--Teshukov's recursion operator are presented. An number of Hamiltonian structures of all odd orders is found.

研究动机与目标

• 使用共轭曲线坐标网理论，为可积流体类型系统发展一种新型哈密顿形式。
• 在反平坦情形下，建立类似于杜勃罗文-诺维科夫和费拉蓬托夫形式的‘镜像’结构。
• 为满足‘镜像-平坦’条件的系统推导出局部拉格朗日表示。
• 从单一双哈密顿对系统构造所有奇数阶局部哈密顿结构的无限层级，推广已知的努茨科-奥尔弗和谢夫捷尔-特舒科夫系统。
• 通过反平坦性条件，将非局部哈密顿结构推广至任意余维数。

提出的方法

• 形式基于反平坦性条件，该条件推广了杜勃罗文-诺维科夫理论中的平坦性条件。
• 关键方程为反平坦性条件（28），其定义了与平坦系统对偶的结构。
• 构建了‘镜像’哈密顿形式，其公式与杜勃罗文-诺维科夫和费拉蓬托夫形式类似，但适配于共轭网。
• 通过黎曼不变量和条件（23）推导出局部拉格朗日表示，灵感源自理想气体动力学。
• 利用递归算子（38）递归生成高阶哈密顿结构，从而得到无限奇数阶结构。
• 该方法利用了形式为（38）的微分几何泊松括号，其对高阶导数呈准有理依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于共轭曲线坐标网和反平坦性，为可积流体类型系统构造一种新型哈密顿形式？
• RQ2 ‘镜像-平坦’情形是否允许局部拉格朗日表述？若可，其与黎曼不变量有何关联？
• RQ3 能否从单一双哈密顿对系统性地推导出所有奇数阶局部哈密顿结构的无限层级？
• RQ4 广义的努茨科-奥尔弗和谢夫捷尔-特舒科夫结构如何融入这一新形式？
• RQ5 基于反平坦性的非局部哈密顿结构能否推广至任意余维数？

主要发现

• 构造了无限多个所有奇数阶的局部哈密顿结构，推广了努茨科-奥尔弗和谢夫捷尔-特舒科夫系统。
• 证明了埃戈罗夫平坦流体类型系统具有无限多个奇数高阶局部哈密顿结构。
• 在‘镜像-平坦’情形下显式找到了局部拉格朗日表示，将系统与黎曼不变量及理想气体动力学联系起来。
• 混合双哈密顿结构（38）生成了具有有理依赖于一阶导数的无限序列对称流。
• 基于反平坦性的非局部哈密顿形式被推广至任意余维数，推广了先前结果。
• 新形式为多哈密顿结构提供了统一框架，在局部情形下与杜勃罗文-诺维科夫型形式等价。