[论文解读] New Hardness Results in Rainbow Connectivity

Prabhanjan Ananth, Meghana Nasre|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Graph theory and applications参考文献 7被引用 19

一句话总结

本文证明了对所有 $k \geq 3$，判定彩虹连通数 $rc(G) \leq k$ 是 NP-难的，解决了长期存在的一个猜想。此外，本文还证明了即使在二分图中，判定强彩虹连通数 $src(G) \leq k$ 也是 NP-难的，通过从顶点着色问题进行约化，并构建专门的图构件以在边着色下保持路径约束。

ABSTRACT

A path in an edge colored graph is said to be a rainbow path if no two edges on the path have the same color. An edge colored graph is (strongly) rainbow connected if there exists a (geodesic) rainbow path between every pair of vertices. The (strong) rainbow connectivity of a graph $G$, denoted by ($src(G)$, respectively) $rc(G)$ is the smallest number of colors required to edge color the graph such that the graph is (strong) rainbow connected. It is known that for \emph{even} $k$ to decide whether the rainbow connectivity of a graph is at most $k$ or not is NP-hard. It was conjectured that for all $k$, to decide whether $rc(G) \leq k$ is NP-hard. In this paper we prove this conjecture. We also show that it is NP-hard to decide whether $src(G) \leq k$ or not even when $G$ is a bipartite graph.

研究动机与目标

• 解决关于判定 $rc(G) \leq k$ 是否对所有 $k \geq 3$ 均为 NP-难的猜想。
• 将困难性结果扩展至强彩虹连通数 $src(G)$，特别是针对二分图。
• 建立从 $k$-顶点着色问题到子集彩虹连通性问题的多项式时间约化。
• 构建图构件，使其在边着色下保持测地线彩虹路径约束。
• 展示彩虹连通性与强彩虹连通性问题在先前已知情况之外的计算不可解性。

提出的方法

• 通过基于星形的构造（包含一个中心顶点和代表原图顶点的叶子）将 $k$-顶点着色问题约化为 $k$-子集强彩虹连通性问题。
• 构建一个具有 $k$ 层的分层图 $H_k$，其中每一层包含代表基础顶点的顶点，边被着色以强制实现彩虹路径约束。
• 定义一个与原图 $G$ 同构的基础图 $G_k$，将其嵌入更大的图 $G'$ 中以保持边关系。
• 采用混合边着色方案：对内部路径使用 $H_k$ 中的颜色，对基础边使用原图中的颜色，以确保路径完整性。
• 运用归纳论证和路径分解，证明任意连接基础顶点的短彩虹路径必须完全位于基础图 $G_k$ 内部。
• 利用路径使用 $H_k$ 中边时长度至少为 $k$ 的事实，与长度 $\leq k$ 的路径要求相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 判定 $rc(G) \leq k$ 是否对所有 $k \geq 3$ 均为 NP-难？
• RQ2 当 $G$ 为二分图时，$src(G) \leq k$ 是否仍为 NP-难？
• RQ3 子集彩虹连通性问题能否用于从顶点着色问题约化，以证明彩虹连通性问题的困难性？
• RQ4 具有分层结构的图构造是否在边着色下保持必要的彩虹路径约束？
• RQ5 在着色图中，两点间长度 $\leq k$ 的路径是否仅当仅使用基础边时才可能存在于基础图中？

主要发现

• 对每个 $k \geq 3$，判定 $rc(G) \leq k$ 是否为 NP-难是 NP-难的，确认了该问题对所有 $k \geq 3$ 均困难的猜想。
• 即使当 $G$ 为二分图时，判定 $src(G) \leq k$ 是否为 NP-难也是 NP-难的，将困难性结果扩展到了一个受限图类。
• $k$-子集强彩虹连通性问题为 NP-难，通过从 $k$-顶点着色问题约化得到证明。
• 在构造的图 $G'$ 中，任意连接两个基础顶点且长度不超过 $k$ 的彩虹路径必须完全位于基础图 $G_k$ 内部，这是由于 $H_k$ 中路径的长度约束。
• 构造的图 $G'$ 确保：若 $G$ 存在一种 $k$-边着色使其成为 $k$-子集彩虹连通，则 $G'$ 也存在一种 $k$-边着色使其成为 $k$-彩虹连通。
• 该约化保持了指定点对之间彩虹路径的存在性，从而在构造实例中建立了子集与完整彩虹连通性问题之间的等价性。