[论文解读] New harmonic number identities with applications

Roberto Tauraso|ArXiv.org|Dec 13, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文通过舒斯特积（stuffle product）的递归展开与求和规则，推导出总权重不超过5的齐次多重调和和（MHS）乘积之和的显式闭式公式。利用这些恒等式，证明了关于和式 $\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^{ak}\binom{p-1}{k}^a$ 的新模 $p^6$ 同余式，拓展了先前结果，并进一步改进了 $\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\binom{2k}{k}$ 的 $p^4$-同余式。

ABSTRACT

We determine the explicit formulas for the sum of products of homogeneous multiple harmonic sums $\sum_{k=1}^n \prod_{j=1}^r H_k(\{1\}^{λ_j})$ when $\sum_{j=1}^r λ_j\leq 5$. We apply these identities to the study of two congruences modulo a power of a prime.

研究动机与目标

• 推导总权重 ≤ 5 的齐次多重调和和（MHS）乘积之和的显式闭式表达式。
• 基于舒斯特积与递归求和规则，开发一种系统化生成此类恒等式的算法流程。
• 应用这些恒等式研究涉及二项系数的同余式，模高次幂素数。
• 将已知关于 $\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^{ak}\binom{p-1}{k}^a$ 的同余式拓展并改进至模 $p^6$。

提出的方法

• 使用舒斯特积将 MHS 的乘积递归展开为更高权重 MHS 的非负整数组合。
• 应用递归求和规则，通过 $H_n(\mathbf{s}')$ 和 $H_n(\mathbf{s}'', s_d-1)$ 表达 $\sum_{k=1}^n H_k(\mathbf{s})$，具体取决于最后权重的值。
• 通过舒斯特积恒等式合并同类项，简化所得表达式。
• 利用已知的组合恒等式，将齐次 MHS $H_n(\{1\}^d)$ 表示为深度为一的 MHS 的乘积。
• 利用已知的调和和模素数幂的同余式，计算 $k=1$ 到 $p-1$ 的和。
• 整合所有部分，推导出关于参数 $a$ 的二项式和模 $p^6$ 的最终同余式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\sum_{j=1}^r \lambda_j \leq 5$ 时，和式 $\sum_{k=1}^n \prod_{j=1}^r H_k(\{1\}^{\lambda_j})$ 的显式闭式公式是什么？
• RQ2 如何系统性地应用舒斯特积与递归求和规则来推导此类公式？
• RQ3 对于素数 $p>5$，和式 $\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^{ak}\binom{p-1}{k}^a$ 在模 $p^6$ 下满足哪些同余式？
• RQ4 能否利用这些恒等式将 $\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}\binom{2k}{k}$ 的已知 $p^3$-同余式改进为 $p^4$？
• RQ5 伯努利数以及组合 $X_p = \frac{B_{p-3}}{p-3} - \frac{B_{2p-4}}{4p-8}$ 在这些调和和同余式中如何出现？

主要发现

• 推导出 $\sum_{k=1}^n H_k(1)$、$\sum_{k=1}^n H_k(\{1\}^2)$、$\sum_{k=1}^n H_k^2(1)$ 及更高阶乘积在总权重为5以内的显式公式。
• 和式 $\sum_{k=1}^{p-1} H_k(1)$ 满足同余式 $\equiv -(p-1) + 2p^3 X_p \pmod{p^5}$，其中 $X_p = \frac{B_{p-3}}{p-3} - \frac{B_{2p-4}}{4p-8}$，且 $p>5$ 为素数。
• 和式 $\sum_{k=1}^{p-1} H_k(\{1\}^2)$ 满足同余式 $\equiv (p-1) + (4-2p)p^2 X_p \pmod{p^4}$。
• 和式 $\sum_{k=1}^{p-1} H_k^2(1)$ 满足同余式 $\equiv 2(p-1) + (2-4p)p^2 X_p \pmod{p^4}$。
• 和式 $\sum_{k=1}^{p-1} H_k(1)H_k(\{1\}^2)$ 满足同余式 $\equiv -3(p-1) -6p p X_p \pmod{p^3}$。
• 和式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}\binom{2k}{k} \equiv -\frac{16}{3}p^2 X_p \pmod{p^4}$，改进了已知的 $p^3$-同余式。