[论文解读] New infinite product formulas for the Riemann zeta-function applied to prove the Riemann conjecture

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文在确保 Jensen-Edwards 系数的 Turán 不等式成立的条件下，提出了黎曼 Xi-函数的新无穷乘积公式，利用这些公式证明了黎曼 zeta-函数的所有非平凡零点均位于临界线上，从而证明了黎曼猜想。该方法通过 zeta-函数理论扩展至 Dirichlet 级数。

ABSTRACT

In this article we address the real part of the nontrivial zeros for the Riemann zeta-function by using the new infinite product formulas for the Riemann $\Xi$-function under the latent conditions for the existences of the symmetric real zeros that its Tur\'{a}n inequalities for the Jensen-Edwards coefficients are always valid. The equivalent theorems for a class of the Riemann zeta-functions are discussed in detail. Some new infinite product formulas for the Riemann zeta-function are proposed to show that the Riemann conjecture is true. The infinite product representations for the Dirichlet's series are also obtained based on the theory of the Riemann zeta-function.

研究动机与目标

• 在隐含条件下建立黎曼 Xi-函数的新无穷乘积表示，以确保对称实零点的存在。
• 通过这些乘积公式证明黎曼猜想，表明 zeta-函数的所有非平凡零点均位于临界线上。
• 基于 zeta-函数的性质，将无穷乘积理论扩展至 Dirichlet 级数。
• 在所提出的框架下，研究一类黎曼 zeta-函数的等价定理。

提出的方法

• 利用与对称实零点存在性相关的隐含条件，推导黎曼 Xi-函数的新无穷乘积公式。
• 确保 Jensen-Edwards 系数的 Turán 不等式成立，作为乘积表示收敛性与对称性的必要条件。
• 应用黎曼 zeta-函数理论，为 Dirichlet 级数构建无穷乘积表示。
• 利用一类 zeta-函数的等价定理，将结果推广至经典黎曼 zeta-函数之外。
• 利用 Xi-函数的函数方程与对称性，保持乘积形式中临界线的对齐。
• 确立乘积公式的收敛性与零点分布蕴含黎曼猜想成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在隐含条件下构造出确保对称实零点存在的黎曼 Xi-函数的新无穷乘积公式？
• RQ2 Jensen-Edwards 系数的 Turán 不等式成立是否能保证 zeta-函数的所有非平凡零点均位于临界线上？
• RQ3 如何将黎曼 zeta-函数理论扩展，以获得 Dirichlet 级数的无穷乘积表示？
• RQ4 在所提出的乘积框架下，可为一类 zeta-函数推导出哪些等价定理？
• RQ5 黎曼猜想是否可通过这些新无穷乘积表示的收敛性与对称性性质来证明？

主要发现

• 所提出的黎曼 Xi-函数无穷乘积公式在隐含条件下构建，确保了对称实零点的存在。
• Jensen-Edwards 系数的 Turán 不等式保持有效，支持了乘积表示的收敛性与对称性。
• 无穷乘积表示表明，黎曼 zeta-函数的所有非平凡零点均位于临界线上，从而确认了黎曼猜想。
• 基于黎曼 zeta-函数理论，成功推导出 Dirichlet 级数的新无穷乘积公式。
• 为一类黎曼 zeta-函数建立了等价定理，将结果推广至经典 zeta-函数之外。
• 该框架表明，零点在临界线上的对齐是乘积结构与系数不等式共同作用的直接结果。