[论文解读] New invariants for CR and contact manifolds. I

Raphaël Ponge|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过计算CR和接触流形上几何伪微分算子的非交换迹，引入了新的不变量，包括CR情形下的Szego投影和接触情形下的广义Szego投影。该研究恢复并扩展了Hirachi与Boutet de Monvel的成果，并解决了Fefferman关于CR几何中曲率不变量的疑问。

ABSTRACT

In this paper we produce several new invariants for CR and contact manifolds by looking at the noncommutative residue traces of various geometric ΨHDO projections. In the CR setting these operators arise from the ∂b complex and include the Szegö projections. In the contact setting they stem from the generalized Szegö projections at arbitrary integer levels of Epstein-Melrose and from the contact complex of Rumin. In particular, we recover and extend recent results of Hirachi and Boutet de Monvel and answer to a question of Fefferman.

研究动机与目标

• 通过非交换迹构造CR和接触流形的新几何不变量。
• 扩展Hirachi与Boutet de Monvel近期在CR几何曲率不变量方面的成果。
• 回应Fefferman长期提出的关于此类不变量的存在性与性质的问题。
• 统一并推广不同几何复形（包括∂b复形与Rumin的接触复形）中不变量的构造。

提出的方法

• 计算CR几何中∂b复形所产生的投影的非交换迹。
• 分析Epstein与Melrose在接触情形下定义的任意整数阶广义Szego投影。
• 将非交换迹应用于Rumin接触复形的投影。
• 利用迹不变量从流形结构中提取曲率与几何信息。
• 建立所得迹在CR与接触微分同胚下的不变性与几何意义。
• 证明迹能产生此前经典曲率不变量未能捕捉的新非平凡不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 从CR与接触流形中几何投影的非交换迹中，可以提取出哪些新的几何不变量？
• RQ2 这些不变量与Hirachi与Boutet de Monvel构造的现有曲率不变量有何关系？
• RQ3 非交换迹构造能否解决Fefferman关于CR几何中此类不变量存在性的疑问？
• RQ4 这些不变量在多大程度上依赖于几何复形的选择，如∂b复形或Rumin的接触复形？
• RQ5 所得不变量在CR或接触微分同胚下是否稳定或保持不变？

主要发现

• CR情形下Szego投影的非交换迹产生新的非平凡不变量，扩展了先前基于曲率的不变量。
• 该构造可推广至接触情形下任意整数阶广义Szego投影，生成一族新的不变量。
• 该方法恢复并扩展了Hirachi与Boutet de Monvel的结果，为他们的不变量提供了统一框架。
• 证明了这些不变量具有几何意义，并在CR与接触微分同胚下保持不变。
• 该方法通过显式迹构造证明了此类不变量的存在性，从而回答了Fefferman的问题。
• 从Rumin接触复形导出的不变量为研究接触流形的几何提供了超越经典曲率不变量的新工具。