[论文解读] New large graphs with given degree and diameter

Francesc Comellas, J. Gómez|ArXiv.org|Nov 3, 1994

Interconnection Networks and Systems参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文提出了具有给定最大度Δ和直径D的大型无向图的新构造方法，重点关注直径为6的情况。通过推广顶点替换技术——将二分Moore图（特别是广义六边形Hq）中的顶点替换为完全图K_h——作者实现了图阶的显著提升，得到了Δ = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14且D = 6时目前已知最大的(∆, D)图。

ABSTRACT

In this paper we give graphs with the largest known order for a given degree $Δ$ and diameter $D$. The graphs are constructed from Moore bipartite graphs by replacement of some vertices by adequate structures. The paper also contains the latest version of the $(Δ, D)$ table for graphs.

研究动机与目标

• 为给定的度Δ和直径D构造比以往更大的图，特别是针对D=6的情况。
• 通过修改现有的二分Moore图并进行顶点替换，改进Moore界近似值。
• 通过将多个顶点替换为完全图来扩展复合图技术，同时确保直径保持有界。
• 提供一份更新且全面的表格，列出D ≤ 8且Δ ≤ 14时目前已知最大的(∆, D)-图。
• 提出一种通用的顶点替换规则，可在保持或改善图直径的同时增加图的阶。

提出的方法

• 该方法通过将广义六边形图Hq中的多个顶点替换为完全图K_h，推广了Quisquater的顶点替换技术。
• 在Hq中用K_h的副本（h < Δ）替换顶点，并添加新边以保持或最小化直径。
• 该构造确保替换后，结果图中所有顶点对之间的距离仍不超过D=6。
• 该技术应用于H3、H4和H5，分别将6个顶点替换为K3和K4，形成H3(K3)、H4(K4)和H5(K4)。
• 采用复合技术进一步增强H4(K4)和H5图，从而得到更大的(7,6)图。
• 该方法依赖于广义六边形及其距离分布的结构特性，以保证直径约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过修改已知的Moore二分图，能否显著提升直径D=6时(∆, D)-图的阶？
• RQ2 在度Δ和直径D=6的条件下，图中可实现的最大顶点数是多少？与Moore界相比如何？
• RQ3 能否开发一种广义的顶点替换规则，使其在保持直径的同时增加图的阶？
• RQ4 与Cayley图、弦图环及复合图等现有构造相比，所得图表现如何？
• RQ5 在顶点替换中，应使用多少个及何种配置的完全图K_h，才能在不增加直径的前提下最大化图的阶？

主要发现

• 作者构建了含740个顶点、直径为6的H3(K3)，为Δ=4创造了新纪录。
• H4(K4)包含2,754个顶点和直径6，为Δ=5设定了新基准。
• H5(K4)包含7,860个顶点和直径6，代表了Δ=6时目前已知最大的(∆, D)-图。
• 通过将H4(K4)和H5结合使用复合技术，得到了一个含10,566个顶点的(7,6)图。
• 新构造在D=6且Δ ≥ 4时，显著超越了以往(∆, D)表中的记录。
• 更新后的表格包含了Δ从3到14、D从2到8时目前已知最大的图，新条目以粗体标示。