[论文解读] New Limits for Knowledge Compilation and Applications to Exact Model Counting

Paul Beame, Vincent Liew|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 19被引用 17

一句话总结

该论文为自然问题类别的句法决策图（SDDs）和DNNFs建立了新的指数级下界，表明SDDs在并集析取查询（UCQs）上的表达能力并不比OBDDs更简洁，且在某些2-DNF公式上可能比FBDDs指数级地更不简洁。论文引入了SDD大小与最优划分通信复杂度之间的一种新联系，通过归约至集合不相交问题，实现了强下界。

ABSTRACT

We show new limits on the efficiency of using current techniques to make exact probabilistic inference for large classes of natural problems. In particular we show new lower bounds on knowledge compilation to SDD and DNNF forms. We give strong lower bounds on the complexity of SDD representations by relating SDD size to best-partition communication complexity. We use this relationship to prove exponential lower bounds on the SDD size for representing a large class of problems that occur naturally as queries over probabilistic databases. A consequence is that for representing unions of conjunctive queries, SDDs are not qualitatively more concise than OBDDs. We also derive simple examples for which SDDs must be exponentially less concise than FBDDs. Finally, we derive exponential lower bounds on the sizes of DNNF representations using a new quasipolynomial simulation of DNNFs by nondeterministic FBDDs.

研究动机与目标

• 建立SDDs和DNNFs在知识编译中表达简洁性的基本极限。
• 解决关于SDDs在表示自然查询类时是否相对于OBDDs和FBDDs具有显著优势的开放问题。
• 开发一种新表征，将SDD大小与最优划分通信复杂度联系起来。
• 利用通信复杂度技术推导出SDDs和DNNFs的指数级下界。
• 证明SDDs在并集析取查询（UCQs）上无法提供相对于OBDDs的定性改进。

提出的方法

• 建立SDD大小与最优划分通信复杂度之间的联系，表明SDD大小受平衡变量划分通信复杂度的限制。
• 通过从不相交问题归约，推导出自然查询类中SDD大小的指数级下界。
• 构建一般DNNFs对OR-FBDDs的准多项式模拟，从而实现从OR-FBDD下界推导DNNF下界。
• 利用已知的OR-FBDD在PERMₙ和ROW-COLₙ等函数上的指数级下界，推导出相应的DNNF下界。
• 应用Yannakakis的无歧义协议确定性模拟，通过中间无歧义协议将SDDs与通信复杂度联系起来。
• 利用SDD的vtree结构，为两名通信方定义一个近似平衡的变量划分，将通信量限制在log²S比特以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 SDDs能否比OBDDs更简洁地表示并集析取查询（UCQs）？
• RQ2 是否存在自然类别的2-DNF公式，使得SDDs相对于FBDDs指数级地更不简洁？
• RQ3 是否存在SDDs对OBDDs的通用准多项式模拟，与已知的decision-DNNFs对FBDDs的准多项式模拟相匹配？
• RQ4 函数的最佳划分通信复杂度能否用于表征表示该函数所需的最小SDD大小？
• RQ5 在结构化知识编译中，SDDs在简洁性方面是否相对于decision-DNNFs具有任何定性优势？

主要发现

• 对于并集析取查询（UCQs），当且仅当OBDD大小为线性时，SDD大小也为线性，否则为指数级——这意味着SDDs在该类问题上无法提供相对于OBDDs的定性改进。
• 存在某些2-DNF公式，其FBDD大小为多项式，但SDD大小为指数级，表明SDDs可能比FBDDs指数级地更不简洁。
• 论文通过OR-FBDD对DNNFs的准多项式模拟，建立了DNNF表示的指数级下界，该模拟继承了已知OR-FBDD在PERMₙ和ROW-COLₙ上的下界。
• 表示函数f所需的SDD大小受2^√C的限制，其中C是f的最佳划分通信复杂度，表明SDD与OBDD大小之间存在准多项式差距。
• 通过通信复杂度的表征表明，SDDs无法高效表示需要高最佳划分通信复杂度的函数。
• 结果表明，SDDs在UCQs上不比OBDDs更简洁，且在某些2-DNF公式上比FBDDs指数级地更不简洁，从而解决了关于其相对简洁性的一个关键开放问题。