[论文解读] New Low Rank Optimization Model and Convex Approach for Robust Spectral Compressed Sensing

Zai Yang, Xunmeng Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2021

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的低秩双汉克尔模型，用于鲁棒的谱压缩感知，该模型显式强制谱极点位于单位圆上，从而克服了传统基于汉克尔方法的根本性局限。该方法称为双重增强矩阵补全（DEMaC），可在部分采样下实现可证明的准确且鲁棒的谱稀疏信号恢复，即使在有界噪声和稀疏噪声下也表现优异，具备理论保证，并在分辨率上优于现有最先进方法。

ABSTRACT

This paper investigates recovery of an undamped spectrally sparse signal and its spectral components from a set of regularly spaced samples within the framework of spectral compressed sensing and super-resolution. We show that the existing Hankel-based optimization methods suffer from the fundamental limitation that the prior of undampedness cannot be exploited. We propose a new low rank optimization model partially inspired by forward-backward processing for line spectral estimation and show its capability in restricting the spectral poles on the unit circle. We present convex relaxation approaches with the model and show their provable accuracy and robustness to bounded and sparse noise. All our results are generalized from the 1-D to arbitrary-dimensional spectral compressed sensing. Numerical simulations are provided that corroborate our analysis and show efficiency of our model and advantageous performance of our approach in improved accuracy and resolution as compared to the state-of-the-art Hankel and atomic norm methods.

研究动机与目标

• 解决现有基于汉克尔的方法在谱压缩感知中的根本局限，即未能利用无阻尼信号的单位圆先验。
• 提出一种新的低秩优化模型，显式强制谱极点位于单位圆上，从而提升物理可解释性与性能。
• 提出一种凸松弛框架——双重增强矩阵补全（DEMaC），用于从部分、噪声采样中鲁棒恢复谱稀疏信号。
• 为 DEMaC 建立理论保证，包括在完整采样与压缩采样两种情形下对有界噪声和稀疏噪声的准确性与鲁棒性。
• 将所提出的模型与方法从一维推广至任意维度的谱压缩感知。

提出的方法

• 通过组合两个汉克尔矩阵，提出一种新的低秩双汉克尔模型，以更好地捕捉无阻尼谱稀疏信号的结构特征。
• 基于双汉克尔结构构建凸优化问题，通过核范数最小化实现高效且稳定的恢复。
• 采用高尔夫球方案构造对偶证书，验证在非相干性和采样假设下实现精确恢复的条件。
• 利用改进的非相干性条件与概率分析，证明当采样数满足 $ M = O( u K ext{polylog}(N)) $ 时，DEMaC 以高概率恢复真实信号，其中 $ u $ 为与信号结构相关的相干性参数。
• 通过将鲁棒优化技术融入凸松弛框架，使该方法能够处理有界噪声与稀疏噪声。
• 利用克罗内克积结构与基于张量的公式化方法，将模型与算法从一维推广至多维谱压缩感知。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过修改基于低秩汉克尔的模型，显式强制谱极点位于单位圆上，从而提升物理一致性与性能？
• RQ2 所提出的双汉克尔模型是否显著缩小解空间，并增强对真实谱分量的恢复能力？
• RQ3 该新模型的凸松弛能否在部分采样及有界/稀疏噪声下实现可证明的恢复准确性与鲁棒性？
• RQ4 使用新模型实现精确恢复所需的采样率是多少？其采样复杂度与现有方法相比如何？
• RQ5 所提出的方法能否推广至多维谱压缩感知，同时保持理论保证与性能优势？

主要发现

• 所提出的双汉克尔模型通过限制解空间，使谱极点自然地被约束在单位圆上，解决了标准汉克尔方法的关键局限。
• 当采样数满足 $ M = O( u K ext{polylog}(N)) $ 时，DEMaC 以高概率实现精确恢复，其中 $ u $ 为与信号结构相关的相干性参数。
• 该方法在理论上对有界噪声与稀疏噪声均具有鲁棒性，且在新模型框架下导出了理论误差界。
• 数值仿真表明，DEMaC 在准确性和分辨率方面均优于现有最先进的一维汉克尔与原子范数方法，尤其在低采样率条件下表现更优。
• DEMaC 的理论采样复杂度与现有方法处于同一数量级，但因更有效地利用了结构信息，常数项更优；对偶证书构造进一步验证了恢复条件。
• 该方法可自然推广至多维谱压缩感知，在保持理论保证与性能优势的同时，展现出良好的扩展性。