[论文解读] New lower bounds for matrix multiplication and the 3x3 determinant

Austin Conner, Alicia Harper+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文通过一种新颖的代数几何技术——边界极性（border apolarity），建立了矩阵乘法张量和3×3行列式张量的边界秩的新下界。通过利用对称性并分析在对称群的最大可解子群作用下的多齐次理想，作者证明了 $ M_{\langle 223\rangle} $ 和 $ M_{\langle 233\rangle} $ 的精确边界秩，并显著改进了 $ M_{\langle 3\rangle} $、$ \det_3 $ 以及无限族 $ M_{\langle 2nn\rangle} $ 和 $ M_{\langle 3nn\rangle} $ 的下界。

ABSTRACT

Let $M_{\langle u,v,w angle}\in C^{uv}\otimes C^{vw}\otimes C^{wu}$ denote the matrix multiplication tensor (and write $M_n=M_{\langle n,n,n angle}$) and let $det_3\in ( C^9)^{\otimes 3}$ denote the determinant polynomial considered as a tensor. For a tensor $T$, let $\underline R(T)$ denote its border rank. We (i) give the first hand-checkable algebraic proof that $\underline R(M_2)=7$,(ii) prove $\underline R(M_{\langle 223 angle})=10$, and $\underline R(M_{\langle 233 angle})=14$, where previously the only nontrivial matrix multiplication tensor whose border rank had been determined was $M_2$,(iii) prove $\underline R( M_3)\geq 17$, (iv) prove $\underline R( det_3)=17$, improving the previous lower bound of $12$, (v) prove $\underline R(M_{\langle 2nn angle})\geq n^2+1.32n$ for all $n\geq 25$ (previously only $\underline R(M_{\langle 2nn angle})\geq n^2+1$ was known) as well as lower bounds for $4\leq n\leq 25$, and (vi) prove $\underline R(M_{\langle 3nn angle})\geq n^2+2 n+1$ for all $ n\geq 21$, where previously only $\underline R(M_{\langle 3nn angle})\geq n^2+2$ was known, as well as lower boundsfor $4\leq n\leq 21$. Our results utilize a new technique initiated by Buczyńska and Buczyński, called border apolarity. The two key ingredients are: (i) the use of a multi-graded ideal associated to a border rank $r$ decomposition of any tensor, and (ii) the exploitation of the large symmetry group of $T$ to restrict to $B_T$-invariant ideals, where $B_T$ is a maximal solvable subgroup of the symmetry group of $T$.

研究动机与目标

• 建立矩阵乘法张量和3×3行列式张量边界秩的精确与改进下界。
• 开发并应用一种针对对称张量量身定制的新代数几何技术——边界极性。
• 克服先前方法（如柯尔舒兹展平法和边界代入法）在证明边界秩下界时的局限性。
• 提供一种系统化算法，通过不变理想计算或排除对称张量的边界秩 $ r $ 分解。
• 通过解决先前未解问题并改进无限族矩阵乘法张量的渐近下界，展示该方法的强大能力。

提出的方法

• 作者引入边界极性技术，结合经典极性理论与边界代入法，以分析对称张量的边界秩分解。
• 他们为任意潜在的边界秩 $ r $ 分解构造一个多重齐次理想，借助代数几何方法检验其存在性。
• 通过利用张量 $ T $ 的大对称群，将关注范围限制在 $ \mathbb{B}_T $-不变理想上，其中 $ \mathbb{B}_T $ 是 $ T $ 的对称群的最大可解子群。
• 该方法通过权空间分解与表示理论，计算张量积与不可约表示之间交集维数的上界。
• 系统评估所有可能的候选分解的规范形式，要么证明不存在此类分解，要么列出所有可能性。
• 该方法旨在绕过边界秩下界研究中已知的障碍，特别是限制柯尔舒兹展平法及其他先前技术实用性的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在矩阵乘法复杂度中，$ M_{\langle 223\rangle} $ 的精确边界秩是多少？这是一个此前未解决的案例。
• RQ2 边界极性方法能否用于计算或排除具有大对称群的对称张量的边界秩 $ r $ 分解？
• RQ3 对 $ M_{\langle 3\rangle} $、$ \det_3 $ 以及无限族 $ M_{\langle 2nn\rangle} $ 和 $ M_{\langle 3nn\rangle} $ 的改进下界是什么？
• RQ4 与柯尔舒兹展平法和边界代入法等现有技术相比，边界极性方法的威力如何？
• RQ5 该方法能否推广至提供超出已知 $ M_{\langle 2\rangle} $ 案例的矩阵乘法张量的非平凡下界？

主要发现

• 本文首次提供了可人工验证的代数证明，表明 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 2\rangle}) = 7 $，以新方法确认了长期存在的结果。
• 证明了 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 223\rangle}) = 10 $ 和 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 233\rangle}) = 14 $，解决了两个新的精确边界秩案例。
• 建立了 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 3\rangle}) \geq 17 $，显著优于此前的下界。
• 证明了 $ \underline{\mathbf{R}}(\det_3) = 17 $，优于此前的下界12。
• 对于 $ M_{\langle 2nn\rangle} $，证明了对所有 $ n \geq 25 $，有 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 2nn\rangle}) \geq n^2 + 1.32n $，优于此前的 $ n^2 + 1 $。
• 对于 $ M_{\langle 3nn\rangle} $，证明了对所有 $ n \geq 21 $，有 $ \underline{\mathbf{R}}(M_{\langle 3nn\rangle}) \geq n^2 + 2n $，优于此前的 $ n^2 + 2 $。