[论文解读] New methods for calculating the degree distance and the Gutman index

Simon Brezovnik, Niko Tratnik|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Graph theory and applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的计算方法，利用图的边集的Θ*-划分所导出的加权商图，计算度距离和Gutman指数。研究证明，这些指标可通过商图的Wiener指数计算，其中关键结果表明：当且仅当图是部分汉明图时，Gutman指数的界达到等式，从而为Hₙ等特定家族提供了精确公式。

ABSTRACT

In the paper we develop new methods for calculating the two well-known topological indices, the degree-distance and the Gutman index. Firstly, we prove that the Wiener index of a double vertex-weighted graph can be computed from the Wiener indices of weighted quotient graphs with respect to a partition of the edge set that is coarser than $Θ^*$-partition. This result immediately gives a method for computing the degree-distance of any graph. Next, we express the degree-distance and the Gutman index of an arbitrary phenylene by using its hexagonal squeeze and inner dual. In addition, it is shown how these two indices of a phenylene can be obtained from the four quotient trees. Furthermore, reduction theorems for the Wiener index of a double vertex-weighted graph are presented. Finally, a formula for computing the Gutman index of a partial Hamming graph is obtained.

研究动机与目标

• 开发适用于任意图的度距离和Gutman指数的可推广计算方法。
• 将割法技术扩展至双顶点加权图，并将其应用于拓扑指标。
• 利用其六边形压缩和对偶图，表达苯系化合物的度距离和Gutman指数。
• 推导双顶点加权图的Wiener指数的约化定理，以简化指标计算。
• 建立Gutman指数的紧不等式，并通过部分汉明图刻画等式成立的条件。

提出的方法

• 利用图的边集的Θ*-划分定义商图，从而实现Wiener指数计算的分解。
• 应用广义割法，通过比Θ*更粗的划分，利用商图计算双顶点加权图的Wiener指数。
• 通过其六边形压缩和对偶图，利用商树表达苯系化合物的度距离和Gutman指数。
• 通过分析Θ*-边移除后各分量的权重和，推导双顶点加权图的Wiener指数的约化定理。
• 应用标准等距嵌入，将Wiener指数与商图的完备性关联，得出一个不等式，其等式成立当且仅当图是部分汉明图。
• 利用该不等式中的等式条件，推导出Hₙ（一个部分汉明图的无限家族）的Gutman指数的闭式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用来自Θ*-划分的商图，高效计算度距离和Gutman指数？
• RQ2 如何通过商结构约化双顶点加权图的Wiener指数？
• RQ3 Gutman指数与部分汉明图的结构之间存在何种关系？
• RQ4 苯系化合物的度距离和Gutman指数能否用其六边形压缩和对偶图表示？
• RQ5 加权图的Wiener指数不等式在何种条件下成为等式？

主要发现

• 任何图的度距离和Gutman指数均可通过其相对于比Θ*-划分更粗的划分的商图的Wiener指数计算。
• 对于苯系化合物，其度距离和Gutman指数均可通过其六边形压缩和对偶图表示，且可从四个商树中明确计算。
• 建立了双顶点加权图的Wiener指数的约化定理，支持递归或基于分量的计算。
• 证明了加权图的Wiener指数不等式，其等式成立当且仅当图是部分汉明图。
• Hₙ（n ≥ 2）这一无限家族的Gutman指数精确为6n³ + 9n² − 4n + 1，该结果源于不等式中的等式条件。
• Hₙ关于Θ*-类的商图均为完全图，证实Hₙ是部分汉明图，从而验证了等式条件。