[论文解读] New Methods in Coding Theory: Error-Correcting Codes and the Shannon Capacity

Sven Polak|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

graph theory and CDMA systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数框架，利用群作用、张量积和对称设计来构造纠错码，结合香农容量与网络理论。该框架建立了对称 $(\mu,q)$-网络与大小为 $\mu q^2$ 的 $(n,d)_q$-码之间的 1-1 对应关系，通过组合与表示理论技术，得出新的上界 $A_4(9,6) \leq 120$。

ABSTRACT

In this thesis we present several results in coding theory, concerning error-correcting codes and the Shannon capacity. 1. We give a general symmetry reduction of matrices occuring in semidefinite programs in coding theory. 2. We apply the symmetry reduction to efficiently compute semidefinite programming upper bounds for nonbinary error-correcting codes equipped with the Hamming distance (joint work with Bart Litjens and Lex Schrijver), with the Lee distance and for binary constant weight codes. 3. We explore other methods to find new upper bounds for nonbinary codes with the Hamming distance, based on combinatorial divisibility arguments. 4. We study uniqueness and classification of codes, using the output of the semidefinite programming solver. Most of our classification results are related to subcodes of the binary Golay code. This is joint work with Andries Brouwer. 5. We consider the Shannon capacity of circular graphs. The circular graph $C_{d,q}$ is the graph with vertex set $\\mathbb{Z}_q$ (the cyclic group of order q) in which two distinct vertices are adjacent if and only if their distance (mod $q$) is strictly less than $d$. The Shannon capacity of $C_{d,q}$ can be seen to only depend on the fraction q/d. We prove that the function which assigns to each rational number $q/d$ the Shannon capacity of $C_{d,q}$ is continuous at integer points $q/d$. Moreover, we give a new lower bound on the Shannon capacity of the $7$-cycle. This is joint work with Lex Schrijver. This thesis was written at the University of Amsterdam under supervision of Lex Schrijver.

研究动机与目标

• 通过在集合 $Z_i$ 上使用多个群作用 $G_i$ 及其诱导对称性，推广编码理论的构造方法。
• 建立对称 $(\mu,q)$-网络与长度 $n = \mu q$、最小距离 $d = n - \mu$、大小 $\mu q^2$ 的 $(n,d)_q$-码之间的对应关系。
• 利用网络理论与组合约束，推导出 $(9,6)_4$-码最大大小的新上界。
• 开发一种计算框架，通过张量积分解与代表元集，对大型邻接矩阵进行约化。
• 证明任何大小为 120 的 $(9,6)_4$-码均不包含 31 或 32 块，从而得出 $A_4(9,6) \leq 120$。

提出的方法

• 定义 $H = (G_1^{j_1} \rtimes S_{j_1}) \times \cdots \times (G_s^{j_s} \rtimes S_{j_s})$ 和 $R = Z_1^{j_1} \times \cdots \times Z_s^{j_s}$，以建模编码构造中的多重群对称性。
• 对每个 $i$，使用轨道空间 $\Lambda_i^{j_i}/S_{j_i}$ 参数化 $H$ 在 $R^2$ 上的轨道，从而实现邻接矩阵 $K_\omega$ 的分解。
• 通过基元素 $a_P \in W_i = (\mathbb{C}Z_i \otimes \mathbb{C}Z_i)^{G_i}$ 的张量积构造邻接矩阵 $K_\omega = K_{\omega_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes K_{\omega_s}^{(s)}$。
• 利用代表元集与张量积恒等式，约化生成矩阵 $M(z) = \sum_{\omega \in R^2/H} z(\omega) K_\omega$ 的规模。
• 应用恒等式 $(u_1 \otimes \cdots \otimes u_s)^T (K_{\omega_1}^{(1)} \otimes \cdots \otimes K_{\omega_s}^{(s)}) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_s) = \prod_{i=1}^s u_i^T K_{\omega_i}^{(i)} v_i$ 实现高效计算。
• 从映射到 $\{0,1\}$-向量的码字构造关联矩阵 $M$，并证明 $MM^T = M^T M = A$，其中 $A$ 是由 $I_q$ 和 $J_q$ 块构成的分块矩阵，从而确认对称网络结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用在集合 $Z_i$ 上的多个群作用 $G_i$ 来构造具有受控距离与大小的纠错码？
• RQ2 对称 $(\mu,q)$-网络与大小为 $\mu q^2$ 的 $(n,d)_q$-码之间是否存在精确对应关系？
• RQ3 轨道空间的邻接矩阵如何被分解与约化为多项式规模的表示？
• RQ4 能否利用网络理论约束与码块分析，推导出 $A_4(9,6)$ 的上界？
• RQ5 任何大小为 120 的 $(9,6)_4$-码是否可能包含 31 或 32 块？这对最大码大小意味着什么？

主要发现

• 建立了对称 $(\mu,q)$-网络与长度 $n = \mu q$、最小距离 $d = n - \mu$、大小 $\mu q^2$ 的 $(n,d)_q$-码之间的 1-1 对应关系。
• 此类码的关联矩阵 $M$ 满足 $MM^T = M^T M = A$，其中 $A$ 是一个分块矩阵，对角块为 $\mu q \cdot I_q$，非对角块为 $\mu \cdot J_q$。
• 该构造证实 $M$ 是对称 $(\mu,q)$-网络的关联矩阵，反之亦然，网络结构可生成有效码。
• 利用已知的对称 $(2,4)$-网络结果，本文推导出 $A_4(9,6) \leq 120$ 作为新上界。
• 计算机辅助检查确认，任何大小为 120 的 $(9,6)_4$-码均不包含 31 或 32 块，从而排除了更大码的存在。
• 本文证明，任何大小为 $qn - 1$ 且满足 $qd = (q-1)n$ 的 $(n,d)_q$-码均可扩展至大小 $qn$，支持该上界的最优性。