[论文解读] New modification of Maheshwari method with optimal eighth order of convergence for solving nonlinear equations

Somayeh Sharifi, Массимилиано Феррара+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文提出了一类新的求解非线性方程的最优八阶多点迭代方法，基于改进的Maheshwari方法。通过引入一个权函数并利用函数值近似导数，该方法在每次迭代中仅需四次函数求值和一次导数求值，即实现了八阶收敛，满足Kung和Traub关于最优效率的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we present a family of three-point with eight-order convergence methods for finding the simple roots of nonlinear equations by suitable approximations and weight function based on Maheshwari method. Per iteration this method requires three evaluations of the function and one evaluation of its first derivative. This class of methods has the efficiency index equal to $8^{\frac{1}{4}}\approx 1.682$. We describe the analysis of the proposed methods along with numerical experiments including comparison with existing methods.

研究动机与目标

• 开发一类新的三步点最优迭代方法，用于求解非线性方程，具有八阶收敛性。
• 满足Kung和Traub关于给定函数求值次数下最大可能收敛阶的猜想。
• 通过近似导数来减少导数求值次数，同时保持高阶收敛性，从而提高效率。
• 仅使用四次函数求值和一次导数求值每迭代，实现最优效率指数 $8^{1/4} \approx 1.682$。
• 通过在多种非线性测试问题上的数值实验，验证理论收敛阶和效率。

提出的方法

• 该方法通过在十四阶Maheshwari方法基础上增加一个牛顿步长，以提高收敛阶。
• 为避免在新迭代点 $z_n$ 处计算导数，使用包含 $f(x_n), f(y_n), f(z_n)$ 和 $f'(x_n)$ 的有理函数近似 $f'(z_n)$。
• 该近似采用权函数 $H(s_n)$，其中 $s_n = f(z_n)/f(x_n)$，并满足条件 $H(0) = 1$ 和 $H'(0) = 2$，以确保八阶收敛。
• 该方法包含三个中间步骤：$y_n = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$，$z_n = x_n + \frac{1}{f'(x_n)}\left(\frac{f^2(x_n)}{f(y_n)-f(x_n)} - \frac{f^2(y_n)}{f(x_n)}\right)$，以及 $x_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(x_n)} F(x_n,y_n,z_n) H(s_n)$。
• 权函数 $H(s_n)$ 的构造用于控制收敛行为，并在函数 $f$ 满足特定光滑性和可微性条件时确保最优收敛阶。
• 通过在真实根 $x^*$ 附近进行泰勒展开，完成收敛性分析，得到的误差方程表明具有八阶收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种三步点迭代方法，用于求解非线性方程，实现八阶收敛且具有最优效率？
• RQ2 如何在不牺牲收敛阶的前提下避免在新迭代点处计算导数？
• RQ3 权函数 $H(s_n)$ 必须满足什么条件才能实现八阶收敛？
• RQ4 所提出的该方法是否满足Kung和Traub关于给定函数求值次数下最大收敛阶的猜想？
• RQ5 在实际应用中，该方法与现有最优八阶方法相比，在收敛速度和鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• 所提方法在每次迭代中仅需四次函数求值和一次导数求值，即可实现八阶收敛，效率指数为 $8^{1/4} \approx 1.682$。
• 误差方程 $e_{n+1} = \left(\frac{1}{2}c_2^2(4c_2^2 - c_3)(c_2^3 - 8c_2c_3 + 2c_4)\right)e_n^8 + O(e_n^9)$ 在给定条件下确认了八阶收敛性。
• 在四个测试函数上的数值实验表明，该方法每步迭代的正确数字位数呈二次收敛，ACOC值始终接近 8.0000。
• 与现有最优八阶方法相比，该方法在收敛速度和精度方面表现更优或相当，表现为迭代过程中 $|x_k - x^*|$ 迅速减小。
• 即使在病态或复杂的非线性方程上，该方法仍能保持高精度，残差误差在3–4次迭代内降至机器精度。
• 该方法对不同初值和测试函数（包括超越函数、多项式及混合类型方程）均表现出鲁棒性，证实了其实际适用性。