[论文解读] New Nonconforming Elements for Linear Strain Gradient Elastic Model
本文提出了一类用于线性应变梯度弹性模型的新非协调有限元，借助一种新颖的 H²-Korn 不等式，消除了离散格式中的梯度跳跃项。该方法通过使用更简单的单元（如张量积 NTW 和 Specht 三角形，以及改进的 Morley 单元）实现了鲁棒且一致收敛的逼近，具有最优的收敛速率，在数值实验中表现出最优的半阶收敛率。
Based on a new H$^2-$Korn's inequality, we propose new nonconforming elements for the linear strain gradient elastic model. The first group of elements are H$^1-$conforming but H$^2-$nonconforming. The tensor product NTW element [Tai:2001] and the tensor product Specht triangle are two typical representatives. The second element is based on Morley's triangle with a modified elastic strain energy. We proved new interpolation error estimates for all these elements, which are key to prove uniform rates of convergence for the proposed elements. Numerical results are reported and they are consistent with the theoretical prediction.
研究动机与目标
- 为线性应变梯度弹性模型开发更简单、鲁棒的非协调有限元，实现对小材料参数的统一收敛性。
- 通过使用 H¹-协调但 H²-非协调的单元，克服 C¹ 协调单元带来的高自由度与复杂性。
- 建立一种新的离散 H²-Korn 不等式，排除梯度跳跃项，简化单元构造并实现最优收敛。
- 证明新的插值误差估计，确保收敛速率在微观材料参数变化下保持一致。
- 通过光滑解与边界层解的数值实验验证理论结果。
提出的方法
- 提出一种新的离散 H²-Korn 不等式及其离散形式，排除梯度跳跃项，简化非协调单元的构造。
- 构造两类单元：NTW 与 Specht 三角形的张量积（9 个自由度，四次多项式），以及经过弹性应变能调整的改进 Morley 三角形单元。
- 利用离散 H²-Korn 不等式，证明在小材料参数 ι 下能量范数下的统一收敛性。
- 为所有提出的单元推导新的插值误差估计，这是证明最优收敛速率的关键。
- 在模型问题上实现并测试这些单元，采用不同网格尺寸和 ι = 10⁻⁶ 的参数，确认理论收敛速率。
- 将离散 H²-Korn 不等式作为未来 C⁰罚方法与三维推广的理论基础。
实验结果
研究问题
- RQ1能否推导出一种新的离散 H²-Korn 不等式，排除梯度跳跃项，从而实现应变梯度弹性中更简单的非协调单元构造？
- RQ2所提出的非协调单元在能量范数下是否对小材料参数 ι 实现统一收敛？
- RQ3当弹性应变能被适当地调整时，改进的 Morley 三角形单元是否能实现统一收敛，即使其标准形式在该问题中失效？
- RQ4所提出单元的最优收敛速率是多少？其在数值实验中是否与理论预测一致？
- RQ5该新的 H²-Korn 不等式能否推广至三维问题及应变梯度模型的 C⁰ 罚方法？
主要发现
- 所提出的 NTW 与 Specht 三角形单元在能量范数下实现了约半阶收敛率（≈0.5），与理论预测一致。
- 改进的 Morley 单元在第一次网格加密时达到约 0.6 的收敛率，逐渐趋近于理论半阶收敛率。
- 数值结果证实，所有测试单元在小材料参数 ι = 10⁻⁶ 下均表现出统一收敛性。
- 新的离散 H²-Korn 不等式成功消除了对边上的梯度自由度的需求，显著简化了单元构造。
- 所推导的插值误差估计是精确的，并直接支持所有所提单元的统一收敛性证明。
- 与以往的 C¹-协调或高阶 H²-非协调方法相比，该方法可使用更简单的单元实现鲁棒且最优的收敛性。
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