[论文解读] New Ostrowski type inequalities for m-convex functions and applications

Havva Kavurmacı, Merve Avcı+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 12被引用 22

一句话总结

本文建立了关于绝对导数为 m-凸函数的 Ostrowski 型不等式，利用 Hölder 不等式与幂平均不等式。主要贡献是在 m-凸性条件下，为中点求积公式提供了紧致的误差界，并将其应用于正实数的特殊均值及数值积分中的改进误差估计。

ABSTRACT

In this paper, we establish new inequalities of Ostrowski type for functions whose derivatives in absolute value are m-convex. We also give some applications to special means of positive real numbers. Finally, we obtain some error estimates for the midpoint formula.

研究动机与目标

• 推导出其绝对值导数为 m-凸函数的新型 Ostrowski 型不等式。
• 将现有的 Ostrowski 与 Hermite-Hadamard 不等式结果推广至 m-凸设定。
• 利用 m-凸性为数值积分中的中点公式提供误差估计。
• 将推导出的不等式应用于正实数的特殊均值，如对数均值与对等均值。
• 将先前关于 Lipschitz 映射与凸映射的结果推广至更广泛的 m-凸函数类。

提出的方法

• 利用一个含参数核的修正积分恒等式（引理 7），将函数值与其积分平均值的差表示出来。
• 在 |f′|q 为 m-凸函数的条件下，应用 Hölder 不等式与幂平均不等式来界定所得积分表达式。
• 采用 m-凸性的定义：f(tx + m(1−t)y) ≤ tf(x) + m(1−t)f(y)，其中 t ∈ [0,1]，m ∈ (0,1]。
• 通过在对称区间上对 |f′(x)|q 的最小泛函进行推导，结合参数 m 得到界。
• 将主不等式应用于划分 d 的子区间，以估计中点求积公式的误差。
• 利用恒等式 ∫ₐᵇ f(x)dx = M(f,d) + E(f,d)，将误差项 E(f,d) 与推导出的界联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Ostrowski 型不等式推广至绝对导数为 m-凸函数的情形？
• RQ2 当 |f′|q 为 m-凸函数时，中点公式的最优误差界是什么？
• RQ3 所推导的不等式与正实数的特殊均值有何关联？
• RQ4 这些结果能否在 m-凸性条件下改进现有的数值积分误差估计？
• RQ5 参数 m 在改进经典不等式（如 Hermite-Hadamard 与 Ostrowski 不等式）中起什么作用？

主要发现

• 为 m-凸函数建立了一项新型 Ostrowski 型不等式：|f((a+b)/2) − (1/(b−a))∫ₐᵇ f(x)dx| ≤ (b−a)/4 × (μ₁¹ᐟᑫ + μ₂¹ᐟᑫ)，其中 μ₁ 与 μ₂ 为 |f′|q 值对称组合的最小值。
• 对对数均值，不等式给出 |ln(I(a+1,b+1)/(A(a,b)+1))| ≤ (b−a)/4 × (η₁¹ᐟᑫ + η₂¹ᐟᑫ)，其中 η₁ 与 η₂ 由特定有理表达式定义。
• 中点误差界得到改进：|E(f,d)| ≤ (1/4)∑(xᵢ₊₁−xᵢ)²(μ₁¹ᐟᑫ + μ₂¹ᐟᑫ)，其中 μ₁ 与 μ₂ 为端点与中点处 |f′|q 的对称平均值。
• 推导出另一种误差界：|E(f,d)| ≤ (3¹⁻¹ᐟᑫ/8)∑(xᵢ₊₁−xᵢ)²(|f′(xᵢ)| + |f′(xᵢ₊₁)|)，当 |f′|q 为 1-凸函数时成立。
• 通过引入 m-凸性参数，将先前关于凸函数与 Lipschitz 函数的不等式推广。
• 在特殊均值中的应用表明，当 m ∈ (0,1] 时，所得到的界比经典估计更紧致。