[论文解读] New path integral representation for Hubbard model: II. Spinless case

V. M. Zharkov, Вячеслав Сергеевич Кирчанов|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于强关联电子原子极限中导出的超相干态的无自旋 Hubbard 模型的新路径积分形式。通过在超自旋丛上构造一个动态超群的精确非线性表示，作者们建立了一个基于几何量化的有效泛函框架，以及超共形对称性的非线性实现，为强关联电子关联的场论描述铺平了道路。

ABSTRACT

The Hubbard model is used to study an electronic system. In this paper we present the new path integral representation for Hubbard model. We have constructed the new supercoherent state for spinless electrons which appears from a set of eigenfunctions of atomic limit of strongly correlated systems. Exact calculation of nonlinear representation of a supergroup has been carried. This group defines the transformation of atomic base. The general formalism we elaborate for Hubbard model is the one widely used in the gauge field theory of the nonlinear representation of a superconformal group.

研究动机与目标

• 为强关联 Hubbard 模型（聚焦于无自旋情形）开发一种新的路径积分方法。
• 利用超相干态，为强关联电子系统建立几何量化框架。
• 识别出 Hubbard 模型原子极限下所对应的动力学超群及其非线性表示。
• 建立 Hubbard 算符与超自旋丛中一个超共形群的非线性实现之间的联系。
• 通过在原子极限下精确计算超群生成元，为推导有效作用量奠定基础。

提出的方法

• 基于 Hubbard 模型在大 U 极限下的原子本征态，使用玻色子和费米子 Grassmann 变量构造超相干态。
• 在四维时空流形上定义一个局部超丛，其中超相干态通过动力学场参数化局部超坐标。
• 实现一个超共形群的非线性表示，其中偶（玻色子）部分对应洛伦兹或 SO(4) 生成元，奇（费米子）部分将其扩展为一个超群。
• 使用 Cartan 的微分一形式，从超群结构推导出系统的拉格朗日量。
• 对无自旋情形精确计算超群生成元的非线性表示。
• 通过级数展开和泛函微分，推导出超群生成元矩阵元的闭式解析表达式，得到双曲函数与三角函数的精确函数形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用统一玻色子与费米子自由度的超相干态，重新表述 Hubbard 模型在原子极限下的形式？
• RQ2 在强关联电子区，从 Hubbard 算符中涌现出的动力学超群的结构是什么？
• RQ3 如何对无自旋情形下的该超群非线性表示进行精确计算？
• RQ4 几何量化在构建强关联电子有效场论中的作用是什么？
• RQ5 所推导的超群生成元矩阵元如何与 Hubbard 模型的物理可观测量相关联？

主要发现

• 作者们推导出超群生成元矩阵元的精确解析表达式，例如 $ f_{1}EE = \frac{-2b\cosh(b) + 2b\cosh(h) + (b^{2}-h^{2})\sinh(b)}{2b(b^{2}-h^{2})^{2}} $，该表达式描述了超群的非线性表示。
• 在超相干态形式中，矩阵元的闭式表达式为 $ fEE = \frac{2\sinh(h)b^{3} + h(b^{2}-h^{2})\cosh(b)b + (h^{3}-3b^{2}h)\sinh(b)}{2b^{3}h(b^{2}-h^{2})^{2}} $。
• 二阶导数 $ f_{2}EE $ 表示为 $ \frac{b(b^{2}-h^{2})\cosh(b) - (b^{2}+h^{2})\sinh(b) + 2bh\sinh(h)}{2b(b^{2}-h^{2})^{2}} $，验证了非线性表示的一致性。
• 对 $ f_{1}EE, f_{2}EE, f_{1}hh, f_{2}hh $ 及更高阶导数的级数展开被证明收敛于精确的双曲函数，验证了分析方法的有效性。
• 所推导的函数 $ f = \frac{\frac{\sinh(b)}{b^{3}} - \frac{\sinh(h)}{h^{3}}}{b^{2}-h^{2}} $，$ f_3 = \frac{\cosh(b) - \cosh(h)}{b^{2}-h^{2}} $，以及 $ f_4 = \frac{b\sinh(b) - h\sinh(h)}{b^{2}-h^{2}} $ 均为超群矩阵元的精确表示。
• 结果表明，超群的非线性表示是一致且具有闭式表达的，为未来工作中构建有效泛函提供了可能。