[论文解读] New Permanent Estimators via Non-Commutative Determinants

Alexander Barvinok|ArXiv.org|Jul 25, 2000

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用 20

一句话总结

本文引入了一种新的非交换行列式——对称行列式，用于有限维结合代数上的矩阵，实现了多项式时间计算。利用该行列式构造了随机化的永久值估计器，其猜想为：当矩阵代数 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ 配备高斯测度时，估计器相对于永久值的误差因子为 $O(\gamma_d^n)$，其中 $\gamma_d \to 1$ 当 $d \to \infty$，表明随着代数维数增加，估计集中性得到改善。

ABSTRACT

We introduce a new notion of the determinant, called symmetrized determinant, for a square matrix with the entries in an associative algebra $Å$. The monomial expansion of the symmetrized determinant is obtained from the standard expansion of the commutative determinant by averaging the products of entries of the matrix in all possible orders. We show that for any fixed finite-dimensional associative algebra $Å$, the symmetrized determinant of an $n imes n$ matrix with the entries in $Å$ can be computed in polynomial in $n$ time (the degree of the polynomial is linear in the dimension of $Å$). Then, for every associative algebra $Å$ endowed with a scalar product and unbiased probability measure, we construct a randomized polynomial time algorithm to estimate the permanent of non-negative matrices. We conjecture that if $Å=\Mat(d, {\Bbb R})$ is the algebra of $d imes d$ real matrices endowed with the standard scalar product and Gaussian measure, the algorithm approximates the permanent of a non-negative $n imes n$ matrix within $O(γ_d^n)$ factor, where $\lim_{d \longrightarrow +\infty} γ_d=1$. Finally, we provide some informal arguments why the conjecture might be true.

研究动机与目标

• 开发一类基于非交换行列式的新型永久值估计器，其在集中性和计算效率方面优于现有方法。
• 定义并分析有限维结合代数上矩阵的对称行列式，确保其可多项式时间计算。
• 构建基于结合代数上标量积与无偏测度的随机化多项式时间算法，用于估计非负矩阵的永久值。
• 猜想：基于 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ 且配备高斯测度的估计器，其相对误差随 $d$ 增加而指数级缩小。
• 为对称行列式相比凯莱行列式的更优集中行为提供理论依据。

提出的方法

• 将对称行列式定义为所有排列下单项式乘积的平均值，将交换行列式推广至非交换代数。
• 证明：对于任意固定的有限维结合代数 $\mathcal{A}$，$n \times n$ 矩阵在 $\mathcal{A}$ 上的对称行列式可在 $n$ 的多项式时间内计算，其次数关于 $\dim \mathcal{A}$ 为线性。
• 通过从 $\mathcal{A} = \operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ 上的高斯测度中独立采样 $n^2$ 个矩阵 $u_{ij}$，构造矩阵 $B$，其元素为 $b_{ij} = u_{ij}\sqrt{a_{ij}}$，并计算 $\alpha = \|\operatorname{sdet} B\|^2 / \|\operatorname{sdet} E\|^2$，其中 $E$ 为对角矩阵，其对角元为 $u_{ii}$。
• 利用 $\mathcal{A}$ 上的内积 $\langle a,b \rangle = \operatorname{Tr}(ab^t)$ 定义内积空间，用于测度与估计器的构造。
• 应用切比雪夫不等式与测度集中性启发式方法，论证估计器在永久值附近的紧密集中性。
• 利用对称行列式是 $n!$ 个凯莱行列式的平均值这一事实，暗示其集中性优于单个凯莱行列式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的非交换行列式，使其单项式展开对矩阵元素的所有排列取平均，从而实现高效计算与永久值估计？
• RQ2 在 $\operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ 上配备高斯测度时，对称行列式是否能产生一个相对误差随 $d$ 增加而指数级缩小的永久值估计器？
• RQ3 由于对称行列式是所有行排列的平均值，其估计器的集中性是否至少与凯莱行列式相当？
• RQ4 对称行列式平方范数的期望值是否可通过一个可计算的归一化因子与永久值关联？
• RQ5 当 $d \to \infty$ 时，近似因子 $\gamma_d^n$ 的渐近行为如何？其是否收敛于 1？

主要发现

• 对于固定有限维结合代数 $\mathcal{A}$，$n \times n$ 矩阵在 $\mathcal{A}$ 上的对称行列式可在 $n$ 的多项式时间内计算，其次数关于 $\dim \mathcal{A}$ 为线性。
• 对于任意配备内积与无偏测度的结合代数 $\mathcal{A}$，存在一种随机化多项式时间算法，用于估计非负矩阵的永久值，且满足性质 (1.2.1)–(1.2.4)。
• 基于 $\mathcal{A} = \operatorname{Mat}(d,\mathbb{R})$ 且配备标准高斯测度的估计器，其猜想可将 $\operatorname{per} A$ 近似于 $\gamma_d^n$ 因子内，其中 $\lim_{d \to \infty} \gamma_d = 1$。
• 该算法的时间复杂度为 $O(n^{d^2 + 3})$，随矩阵代数的维数增长而增长。
• 理论论证表明，由于对称行列式对所有排列取平均，其集中性至少与凯莱行列式相当。
• 对称行列式平方范数的期望值，经对角情形归一化后，等于永久值，从而确保了无偏估计。