[论文解读] New perspective on sampling-based motion planning via random geometric graphs

Kiril Solovey, Oren Salzman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 70被引用 13

一句话总结

本文提出定位-镶嵌框架，通过利用随机几何图（RGG）的性质，分析基于采样的运动规划算法。证明了在复杂且存在障碍物的空间中，RGG 保持连通性与有界拉伸，从而为概率图（PRM）及其变体提供了更简单、更通用的概率完备性与渐近（近似）最优性的证明。

ABSTRACT

Roadmaps constructed by many sampling-based motion planners coincide, in the absence of obstacles, with standard models of random geometric graphs (RGGs). Those models have been studied for several decades and by now a rich body of literature exists analyzing various properties and types of RGGs. In their seminal work on optimal motion planning Karaman and Frazzoli (2011) conjectured that a sampling-based planner has a certain property if the underlying RGG has this property as well. In this paper we settle this conjecture and leverage it for the development of a general framework for the analysis of sampling-based planners. Our framework, which we call localization-tessellation, allows for easy transfer of arguments on RGGs from the free unit-hypercube to spaces punctured by obstacles, which are geometrically and topologically much more complex. We demonstrate its power by providing alternative and (arguably) simple proofs for probabilistic completeness and asymptotic (near-)optimality of probabilistic roadmaps (PRMs). Furthermore, we introduce several variants of PRMs, analyze them using our framework, and discuss the implications of the analysis.

研究动机与目标

• 通过将基于采样的运动规划算法与随机几何图（RGG）关联，建立一个通用的分析框架。
• 解决 Karaman 和 Frazzoli 提出的猜想：规划器的性质可由其底层 RGG 的性质推导得出。
• 简化并推广标准 PRM 及其变体的概率完备性与渐近（近似）最优性的证明。
• 通过几何与拓扑推理，将 RGG 的性质从自由空间扩展至含障碍物的配置空间。

提出的方法

• 提出定位-镶嵌框架，包含定位（在小邻域中分析 RGG）与镶嵌（将局部性质推广至复杂区域）。
• 利用定位证明 RGG 在任意点附近任意小区域中保持连通性与有界拉伸等关键性质。
• 通过将自由空间划分为小而可控的区域，应用镶嵌方法，证明局部 RGG 性质可全局扩展。
• 使用几何概率与体积估计，通过径向积分与球体积关系，对靠近立方体边界区域的积分进行上界估计。
• 利用已知的 RGG 结果，证明若一个 RGG 具有某个性质（如连通性），则对应运动规划器也继承该性质。
• 分析采用随机连接策略或近似最近邻查询的 PRM 变体，证明其在适当采样条件下仍保持理论保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将自由空间中 RGG 的性质推广至含障碍物的配置空间中的 RGG？
• RQ2 Karaman 和 Frazzoli 提出的猜想——基于采样的规划器继承其底层 RGG 的性质——是否成立？
• RQ3 定位-镶嵌框架能否简化并推广现有标准 PRM 概率完备性与渐近（近似）最优性的证明？
• RQ4 采用随机或近似连接的 PRM 变体是否仍保持概率完备性与渐近最优性？
• RQ5 在复杂且充满障碍物的空间中，何种条件可确保基于采样规划器构建的路网保持连通且近似最优？

主要发现

• 定位-镶嵌框架证明 RGG 在任意小邻域中保持连通性与有界拉伸，从而可推广至复杂区域。
• 与先前工作相比，该框架为标准 PRM 提供了更简单、更直观的概率完备性与渐近（近似）最优性证明。
• 采用随机连接策略或近似最近邻查询的 PRM 变体，在适当采样条件下仍能实现概率完备性与渐近（近似）最优性。
• 分析表明，只要采样率满足对数增长条件，标准 PRM 即使在连接计算近似时也保持鲁棒性。
• 对于任意维度 $ d $，若采样率满足 $ \tilde{\theta}(n) = \theta(\gamma \log n / n) $ 且 $ \gamma > (d+1)^{1/d} \gamma^* $，则当 $ n \to \infty $ 时，连通性失败的概率趋于零。
• 该框架通过证明障碍物穿孔空间在局部区域中表现如 RGG，从而实现将 RGG 结果迁移至运动规划，保持关键的拓扑与几何性质。