[论文解读] New perturbative method for solving the gravitational N-body problem in general relativity

Slava G. Turyshev, Viktor T. Toth|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Pulsars and Gravitational Waves Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的微扰方法，用于在弱场和慢速运动条件下求解广义相对论中的相对论性N体问题。通过将时空度规分解为惯性项、自场项和相互作用项，并采用协变规范条件，推导出后伽利略坐标变换，将庞加莱群扩展至N体系统中加速观测者的对称性，从而得到包含完整多极结构的一致相对论性运动方程。

ABSTRACT

We present a new approach to describe the dynamics of an isolated, gravitationally bound astronomical $N$-body system in the weak field and slow-motion approximation of the general theory of relativity. Celestial bodies are described using an arbitrary energy-momentum tensor and assumed to possess any number of internal multipole moments. The solution of the gravitational field equations in any reference frame is presented as a sum of three terms: i) the inertial flat spacetime in that frame, ii) unperturbed solutions for each body in the system that is covariantly transformed to the coordinates of this frame, and iii) the gravitational interaction term. We use the harmonic gauge conditions that allow reconstruction of a significant part of the structure of the post-Galilean coordinate transformation functions relating global coordinates of the inertial reference frame to the local coordinates of the non-inertial frame associated with a particular body. The remaining parts of these functions are determined from dynamical conditions, obtained by constructing the relativistic proper reference frame associated with a particular body. In this frame, the effect of external forces acting on the body is balanced by the fictitious frame-reaction force that is needed to keep the body at rest with respect to the frame, conserving its relativistic three-momentum. The resulting post-Galilean coordinate transformations have an approximate group structure that extends the Poincar'e group of global transformations to the case of accelerating observers in a gravitational field of $N$-body system. We present and discuss the structure of the metric tensors corresponding to the reference frames involved, the rules for transforming relativistic gravitational potentials, the coordinate transformations between frames and the resulting relativistic equations of motion.

研究动机与目标

• 开发一种系统性的微扰框架，用于在弱场和慢速近似条件下建模广义相对论中的孤立N体系统。
• 在不限制天体内部结构的前提下，将任意内部多极矩纳入相对论性动力学。
• 为每个天体构建一个一致的相对论性本征参考系，通过外部引力与虚构的惯性反作用力平衡，以保持相对论性三维动量守恒。
• 通过后伽利略变换中的近似群结构，将庞加莱群的全局对称性推广至引力N体系统中加速观测者的对称性。
• 推导出N体系统中不同参考系之间引力势和度规张量的显式变换规则。

提出的方法

• 将时空度规分解为三个部分：惯性平直时空、各天体的协变变换自场，以及引力相互作用项。
• 施加协变规范条件，以重建连接全局惯性坐标与各天体局部非惯性参考系的大部分后伽利略坐标变换函数。
• 通过构建每个天体的相对论性本征参考系所导出的动力学条件，确定坐标变换的剩余部分。
• 在本征参考系中，外部力与虚构的惯性反作用力平衡，确保相对论性三维动量守恒，从而实现一致的动力学。
• 该方法在所有相关参考系中获得度规张量的封闭形式结构，并提供相对论性引力势的变换规则。
• 所得运动方程源自完整的相对论性动力学，包含所有多极矩，并在不同参考系间保持一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在弱场和慢速极限下一致地表述广义相对论中的N体问题，同时为每个天体保持相对论性动量守恒？
• RQ2 在引力N体系统中，将庞加莱群扩展至加速观测者的后伽利略坐标变换具有何种结构？
• RQ3 如何系统地、规范不变且物理一致地将引力相互作用项与自场及惯性背景分离？
• RQ4 在N体系统中，全局惯性参考系与局部本征参考系之间，相对论性引力势和度规张量的变换规则是什么？
• RQ5 如何一致地将天体的任意内部多极矩纳入相对论性运动方程中，而不违反守恒定律？

主要发现

• 该方法成功地将时空度规分解为三个具有物理意义的组成部分：惯性背景、自场贡献和引力相互作用项。
• 协变规范条件使得大部分后伽利略变换函数得以重建，从而实现一致的参考系变换。
• 通过动力学确定剩余变换分量，确保外部力与虚构的惯性反作用力平衡，从而在本征参考系中保持相对论性三维动量守恒。
• 所得后伽利略变换表现出近似群结构，将庞加莱群推广至N体引力场中加速观测者的对称性。
• 推导出相对论性引力势和度规张量在不同参考系间变换的显式规则，从而实现跨参考系的一致动力学。
• 该方法产生了一组自洽的相对论性运动方程，包含所有多极矩，并在全局和局部参考系中均有效。