[论文解读] New Planar Binomials in Characteristic Two

Sihuang Hu, Shuxing Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Coding theory and cryptography被引用 1

一句话总结

本文在特征二中引入了三类新的伪平面二项式，将平面函数理论扩展至偶特征。通过构造这些二项式，作者建立了伪平面函数与伽罗瓦环上关联方案之间的联系，推动了偶特征下有限射影平面与组合设计的构造。

ABSTRACT

Planar functions in odd characteristic were introduced by Dembowski and Ostrom in order to construct finite projective planes in 1968. They were also used in the constructions of DES-like iterated ciphers, error-correcting codes, and signal sets. Recently, a new notion of pseudo-planar functions in even characteristic was proposed by Zhou. These new pseudo-planar functions, as an analogue of planar functions in odd characteristic, also bring about finite projective planes. There are three known infinite families of pseudo-planar monomial functions constructed by Schmidt and Zhou, and Scherr and Zieve. In this paper, three new classes of pseudo-planar binomials are provided. Moreover, we find that each pseudo-planar function gives an association scheme which is defined on a Galois ring.

研究动机与目标

• 通过引入新的伪平面二项式类，将平面函数理论扩展至偶特征。
• 解决特征二中已知的伪平面单项式无限族数量有限的问题。
• 建立伪平面函数与定义在伽罗瓦环上的关联方案之间的结构联系。
• 提供新的代数构造方法，推广有限几何与组合设计理论中的已知结果。

提出的方法

• 利用多项式映射的代数性质，在特征二的有限域上构造新的二项式函数类。
• 通过偶特征下某些微分均匀性条件的消失来验证伪平面性条件。
• 利用伽罗瓦环的代数结构，定义并分析由伪平面函数诱导的关联方案。
• 应用有限几何与编码理论中的已知结果，验证所构造函数的组合性质。
• 分析相关二次型的核与像结构，以确认伪平面性。
• 建立伪平面函数与适当秩的伽罗瓦环上对称关联方案之间的一一对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知单项式族之外，特征二中还存在哪些新的伪平面二项式类？
• RQ2 偶特征中的伪平面函数如何与有限射影平面及组合设计相关联？
• RQ3 能否系统地将伪平面函数与伽罗瓦环上的关联方案联系起来？
• RQ4 这些新伪平面函数的构造背后的代数结构是什么？
• RQ5 与先前已知的伪平面函数族相比，这些新二项式在结构与性质上如何？

主要发现

• 构造了三类新的特征二中伪平面二项式无限族，将已知族的范围从单项式扩展。
• 本文中每个伪平面函数均诱导一个定义在特征为 2^r、剩余域大小为 2^n 的伽罗瓦环上的对称关联方案。
• 证明了由伪平面函数产生的关联方案是可交换且对称的，且具有明确定义的交数。
• 该构造表明，偶特征下的伪平面性条件可导出伽罗瓦环上高度结构化的组合对象。
• 结果推广了先前对类似平面函数的构造，并为有限几何与编码设计提供了新工具。
• 伪平面函数与基于伽罗瓦环的关联方案之间的联系，为研究此类函数提供了新的代数框架。