[论文解读] New Polynomial Cases of the Weighted Efficient Domination Problem

Andreas Brandstädt, Martin Milanič+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了在 $P_7$-free 和 $2P_3$-free 圖的若干子類上，加權有效支配問題（WED）的多項式時間演算法，包括 $(P_2+P_4)$-free、$P_5$-free 和 $P_6$-free 圖。此外，本文也證明僅使用度數至多為 2 的頂點來尋找最小權重有效支配集的問題可在多項式時間內解決，與平面二分圖中最大度數為 3 的標準 ED 問題的 NP-完全性形成對比。

ABSTRACT

Let G be a finite undirected graph. A vertex dominates itself and all its neighbors in G. A vertex set D is an efficient dominating set (e.d. for short) of G if every vertex of G is dominated by exactly one vertex of D. The Efficient Domination (ED) problem, which asks for the existence of an e.d. in G, is known to be NP-complete even for very restricted graph classes. In particular, the ED problem remains NP-complete for 2P3-free graphs and thus for P7-free graphs. We show that the weighted version of the problem (abbreviated WED) is solvable in polynomial time on various subclasses of 2P3-free and P7-free graphs, including (P2+P4)-free graphs, P5-free graphs and other classes. Furthermore, we show that a minimum weight e.d. consisting only of vertices of degree at most 2 (if one exists) can be found in polynomial time. This contrasts with our NP-completeness result for the ED problem on planar bipartite graphs with maximum degree 3.

研究动机与目标

• 識別加權有效支配問題（WED）可在多項式時間內求解的新圖類別。
• 將已知的 WED 問題可 tractable 的情況擴展至先前研究的類別（如樹與共比較圖）之外。
• 探討僅限於度數至多為 2 的頂點之有效支配集的複雜度。
• 透過證明在最大度數為 3 的平面二分圖中，ED 問題在任意圈長 $g \geq 3$ 條件下仍為 NP-完全，強化現有的 NP-完全性結果。

提出的方法

• 作者設計了強健的多項式時間演算法，無需事先明確識別輸入圖的類別，而是直接求解 WED 問題或偵測圖不屬於目標類別。
• 他們將某些 $P_k$-free 和 $2P_3$-free 圖類上的 WED 問題，透過路徑與環結構的動態規劃或結構分解技術進行轉化。
• 針對度數限制於 2 的有效支配集情況，他們將問題轉化為衍生圖結構上的類似匹配問題，且該圖具有有界度數。
• 他們透過從 One-In-Three 3SAT 問題的歸約，證明 NP-完全性，並針對任意 $g \geq 3$，構造出最大度數為 3、圈長至少為 $g$ 的平面二分圖。
• 該構造將變數節點替換為長度為 $6m$ 的長路徑，邊則替換為長度為 $6g+1$ 的路徑，以保持平面性與度數約束。

实验结果

研究问题

• RQ1 加權有效支配問題是否可在 $(P_2+P_4)$-free 圖上以多項式時間求解？
• RQ2 是否存在多項式時間演算法，可找到僅由度數至多為 2 的頂點組成的最小權重有效支配集？
• RQ3 在最大度數為 3 的平面二分圖中，ED 問題的 NP-完全性是否可推廣至任意圈長？
• RQ4 能否設計出不需事先識別圖類別的 WED 問題強健演算法，適用於 $P_7$-free 和 $2P_3$-free 圖類？

主要发现

• WED 問題可在 $(P_2+P_4)$-free 圖、$P_5$-free 圖以及其他 $P_7$-free 和 $2P_3$-free 圖的子類上以多項式時間求解。
• 即使一般 ED 問題在最大度數為 3 的平面二分圖中為 NP-完全，僅使用度數至多為 2 的頂點的最小權重有效支配集仍可在多項式時間內找到。
• ED 問題在最大度數為 3 的平面二分圖中，即使圈長 $g \geq 3$ 為任意值，仍為 NP-完全，此結果透過從 One-In-Three 3SAT 問題的歸約得以證明。
• 所提出的演算法具有強健性：無需輸入圖明確屬於目標類別，而是在執行過程中自行判斷成員資格。
• 歸約圖 $G(F)$ 的構造確保了平面性、最大度數為 3，且圈長至少為 $g$，進而維持了在這些約束下 ED 問題的 NP-完全性。