[论文解读] New Presentations of Thompson's Groups and Applications

Uffe Haagerup, Gabriel Picioroaga|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了汤普森群 F、其换位子群 F′ 以及中间群 D 的新无限呈现，三者共用相同的关系式但生成集不同。利用这些呈现，作者证明了 F′ 的代价为 1，这意味着它无法解决 F 的可约性问题；此外，L(F′) 是内渐近阿贝尔的，且 F 的约化 C*-代数不是拟有限维的。

ABSTRACT

We find new presentations for the Thompson's groups $F$, the derived group $F^{'}$ and the intermediate group $D$. These presentations have a common ground in that their relators are the same and only the generating sets differ. As an application of these presentations we extract the following consequences: the cost of the group $F^{'}$ is 1 hence the cost cannot decide the (non)amenability question of $F$; the $II_1$ factor $L(F^{'})$ is inner asymptotically abelian and the reduced $C^*$-algebra of $F$ is not residually finite dimensional.

研究动机与目标

• 为汤普森群 F、F′ 和 D 提供新的无限呈现，使用统一的关系式集但生成集不同。
• 研究 F′ 的代价及其对 F 的可约性问题的影响。
• 确定群 von Neumann 代数 L(F′) 是否为内渐近阿贝尔的。
• 分析 F 的约化 C*-代数的拟有限维性。
• 探讨新呈现对正规子群和群不变量的结构性后果。

提出的方法

• 使用相同的关系式集并改变生成集，为 F、F′ 和 D 构造新的无限呈现。
• 利用 F′ 的新呈现，应用加布里奥的代价理论，特别是代价在具有无限共轭交集的递增并集下保持不变的条件。
• 通过内 *-同构序列的定义，应用内渐近阿贝尔性的概念，以证明 L(F′) 满足比性质 Γ 更强的性质。
• 通过反证法证明 C*r(F) 的非拟有限维性：假设存在忠实的有限维表示，将导致通过交换子链生成无限维代数。
• 利用 F′ 是单群且非交换群的事实，证明任何非平凡正规子群必须包含 F′，因此代价为 1。
• 利用生成元 (g_i, g_j) 在 |i-j| ≥ 2 时的交换关系，构造有限维代数中的无限维交换子链，从而导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在新的无限呈现，用于汤普森群 F、F′ 和 D，使它们的关系式统一但生成集不同？
• RQ2 F′ 的代价是否为 1？这对 F 的可约性问题有何含义？
• RQ3 II₁ 因子 L(F′) 是否为内渐近阿贝尔的？
• RQ4 F 的约化 C*-代数是否为拟有限维的？
• RQ5 F 的所有非平凡正规子群的代价是否均为 1？

主要发现

• 换位子群 F′ 的代价为 1，这意味着仅靠代价无法区分 F 的可约性。
• II₁ 因子 L(F′) 是内渐近阿贝尔的，这比麦杜夫性质或性质 Γ 更强。
• F 的约化 C*-代数不是拟有限维的，这一结果弱于准对角性，但对可约性问题仍具重要意义。
• 由于 F′ 是单群且代价为 1，F 的任何非平凡正规子群的代价均为 1。
• 完整 C*-代数 C*(F) 同样不是拟有限维的，这是通过在有限维表示上使用相同的反证法论证得出的。
• 非拟有限维性质的证明依赖于在有限维代数中构造一个无限交换子链，除非代数本身是无限维的，否则将导致矛盾。