[论文解读] New Provisional Lower Bounds on the Optimal Density of Sphere Packings

Salvatore Torquato, Frank H. Stillinger|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2005

Optimization and Packing Problems参考文献 17被引用 2

一句话总结

本文通过利用优化过程和对无序球体堆积的猜想，提出了一种新的高维欧几里得空间 ℝ^d 中球体堆积最优密度的暂定下界。该方法在 Minkowski 一百年前的旧界基础上实现了指数级改进，渐近密度的标度为 2^{-0.7786...d}，并给出了平均接触数的相应下界，其标度为 2^{0.2213...d}。

ABSTRACT

Sphere packings in high dimensions interest mathematicians and physicists and have direct applications in communications theory. Remarkably, no one has been able to provide exponential improvement on a 100-year-old lower bound on the maximal packing density due to Minkowski in d-dimensional Euclidean space ℜd. The asymptotic behavior of this bound is controlled by 2−d in high dimensions. Using an optimization procedure that we introduced earlier [TS02] and a conjecture concerning the existence of disordered sphere packings in ℜd, we obtain a provisional lower bound on the density whose asymptotic behavior is controlled by 2−0.7786...d, thus providing the putative exponential improvement of Minkowski’s bound. The conjecture states that a hard-core nonnegative tempered distribution is a pair correlation function of a translationally invariant disordered sphere packing in ℜd for asymptotically large d if and only if the Fourier transform of the autocovariance function is nonnegative. The conjecture is supported by two explicit analytically characterized disordered packings, numerical simulations in low dimensions, and known necessary conditions that only have relevance in very low dimensions. A byproduct of our approach is an asymptotic lower bound on the average kissing number whose behavior is controlled by 20.2213...d, which is to be compared to the best known asymptotic lower bound on the individual kissing number of 20.2075...d. Interestingly, our optimization procedure is precisely the dual of a primal linear program devised by Cohn and Elkies [CE03] to obtain upper bounds on the density, and hence has implications for linear programming bounds. 1 1

研究动机与目标

• 解决高维球体堆积密度 Minkowski 百年未解的下界改进问题。
• 开发一种利用优化和统计力学启发的猜想来推导球体堆积密度下界的新方法。
• 建立所提出的 Cohn-Elkies 线性规划上界对偶与无序球体堆积构型之间的联系。
• 从所提猜想和优化框架中推导出高维平均接触数的新渐近下界。

提出的方法

• 利用 [TS02] 中先前引入的优化过程，推导球体堆积密度的下界。
• 提出一个猜想：若且唯若其自协方差函数的傅里叶变换为非负，则一个硬核非负温和分布是 ℝ^d 中平移不变无序球体堆积的配对相关函数。
• 应用所提优化框架与 Cohn 和 Elkies [CE03] 的原始线性规划之间的对偶性，后者可提供堆积密度的上界。
• 通过低维的解析构造和数值模拟，支持该猜想的有效性。
• 从猜想和优化框架中推导出堆积密度和平均接触数的渐近下界。
• 依赖于配对相关函数的已知必要条件（仅在极低维中相关）以进一步验证该猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种新颖的优化方法，在高维中实现对 Minkowski 球体堆积密度下界的新指数级改进？
• RQ2 在高维中，若存在具有特定配对相关函数的无序球体堆积，是否能导致更优的密度下界？
• RQ3 所提优化方法与 Cohn-Elkies 线性规划上界之间的对偶性，如何指导对球体堆积密度更紧下界的搜索？
• RQ4 在所提猜想下，高维无序球体堆积中平均接触数的渐近行为如何？
• RQ5 在低维中，解析构造和数值模拟在多大程度上支持无序球体堆积配对相关函数猜想的有效性？

主要发现

• 所提方法得出的球体堆积密度暂定下界，其渐近标度为 2^{-0.7786...d}，相较于 Minkowski 的 2^{-d} 标度，实现了显著的指数级改进。
• 该方法还提供了平均接触数的渐近下界，其标度为 2^{0.2213...d}，超过了目前已知的个体接触数的最优渐近下界 2^{0.2075...d}。
• 该优化框架在数学上等价于 Cohn 和 Elkies [CE03] 提出的原始线性规划的对偶形式，后者用于上界球体堆积密度。
• 将非负傅里叶变换的自协方差函数与无序球体堆积配对相关函数的有效性相联系的猜想，得到了两个解析构造实例和低维数值模拟的支持。
• 该猜想与配对相关函数的已知必要条件一致，尽管这些条件仅在极低维中具有相关性。
• 结果表明，无序球体堆积结构与高维球体堆积理论中线性规划上界之间存在深刻的联系。