[论文解读] New Quantum MDS codes constructed from Constacyclic codes

Liangdong Lü, Wenping Ma+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过海米特构造，利用有限域上的常循环码构建了新的量子极大距离可分（MDS）码。通过采用特定形式的素数幂参数 $ q = 2am + t $，其中 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $，生成的量子MDS码的最小距离超过 $ \frac{q}{2} + 1 $，其中大多数为新码，且未被先前文献覆盖。

ABSTRACT

Quantum maximum-distance-separable (MDS) codes are an important class of quantum codes. In this paper, using constacyclic codes and Hermitain construction, we construct some new quantum MDS codes of the form $q=2am+t$, $n=\frac{q^{2}+1}{a}$. Most of these quantum MDS codes are new in the sense that their parameters are not covered be the codes available in the literature.

研究动机与目标

• 构建超越现有文献参数的新量子MDS码。
• 探索在特定 $ q $ 和 $ a $ 下，$ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的对偶包含常循环码的存在性。
• 将海米特构造扩展至长度为 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 的常循环码。
• 确定在何种条件下，定义集中的分圆陪集为非反对称，以确保 $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $。
• 提供显式家族的 $ [[n,k,d]]_q $ 量子MDS码，满足 $ d > \frac{q}{2} + 1 $，其中 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 且 $ a \mid (t^2 + 1) $。

提出的方法

• 采用海米特构造：若 $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $，则存在一个 $ [[n, 2k - n, \geq d]]_q $ 量子码。
• 在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上构造长度为 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 的 $ \eta $-常循环码，其定义集为 $ T = \bigcup_{i=0}^{\delta} C_{s + (q+1)i} $。
• 利用模 $ n $ 的分圆陪集分析定义集的结构，并验证其非反对称性质。
• 对 $ q = 2am + t $ 施加条件，其中 $ a \in \{13,17,25,29,37,41\} $ 且 $ a \mid (t^2 + 1) $，以确保对偶包含码的存在性。
• 验证定义集 $ T $ 中不存在反对称分圆陪集，从而保证 $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $。
• 应用量子Singleton界以确认MDS性质，并推导出参数 $ [[n, n - 2d + 2, d]]_q $，其中 $ d $ 为偶数且在指定范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的常循环码构造出最小距离大于先前已知值的新量子MDS码？
• RQ2 在 $ q = 2am + t $ 和 $ a $ 满足何种条件下，$ \eta $-常循环码满足 $ \mathcal{C}^{\perp_h} \subseteq \mathcal{C} $？
• RQ3 对于长度 $ n = \frac{q^2 + 1}{a} $ 且 $ a \in \{13,17,25,29,37,41\} $ 的量子MDS码，可实现的最大最小距离 $ d $ 是多少？
• RQ4 所构造的码是否超过了大多数先前量子MDS码中观察到的 $ d \leq \frac{q}{2} + 1 $ 的界限？
• RQ5 所构造的参数为 $ [[\frac{q^2 + 1}{a}, \frac{q^2 + 1}{a} - 2d + 2, d]]_q $ 的量子MDS码是否在文献中未被覆盖，即为全新？

主要发现

• 对于 $ q = 26m + 5 $，存在一族 $ [[\frac{q^2 + 1}{13}, \frac{q^2 + 1}{13} - 2d + 2, d]]_q $ 量子MDS码，其中 $ 2 \leq d \leq 10m + 2 $，且 $ d $ 为偶数。
• 对于 $ q = 26m + 21 $，存在一族 $ [[\frac{q^2 + 1}{13}, \frac{q^2 + 1}{13} - 2d + 2, d]]_q $ 量子MDS码，其中 $ 2 \leq d \leq 10m + 8 $，且 $ d $ 为偶数。
• 对于 $ q = 34m + 13 $，存在一族 $ [[\frac{q^2 + 1}{17}, \frac{q^2 + 1}{17} - 2d + 2, d]]_q $ 量子MDS码，其中 $ 2 \leq d \leq 10m + 4 $，且 $ d $ 为偶数。
• 对于 $ q = 34m + 21 $，存在一族 $ [[\frac{q^2 + 1}{17}, \frac{q^2 + 1}{17} - 2d + 2, d]]_q $ 量子MDS码，其中 $ 2 \leq d \leq 10m + 6 $，且 $ d $ 为偶数。
• 对于 $ q = 50m + 7 $，存在一族 $ [[\frac{q^2 + 1}{25}, \frac{q^2 + 1}{25} - 2d + 2, d]]_q $ 量子MDS码，其中 $ 2 \leq d \leq 14m + 2 $，且 $ d $ 为偶数。
• 对于 $ q = 82m + 9 $，存在一族 $ [[\frac{q^2 + 1}{41}, \frac{q^2 + 1}{41} - 2d + 2, d]]_q $ 量子MDS码，其中 $ 2 \leq d \leq 18m + 2 $，且 $ d $ 为偶数；对于 $ q = 82m + 73 $，有 $ 2 \leq d \leq 18m + 16 $，且 $ d $ 为偶数。