[论文解读] New RBF collocation schemes and their applications

W. Chen|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Numerical methods in engineering被引用 5

一句话总结

该论文提出了一类新型径向基函数（RBF）配点格式——对称边界核方法（BKM）、边界粒子法（BPM）和改进的Kansa方法（MKM）——这些方法无论在何种几何形状下均能保证插值矩阵的对称性。通过使用核RBF和格林积分公式，这些方法减少了边界处的数值误差，并为求解二维和三维域中的拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程及对流-扩散方程提供了边界元法的有力替代方案。

ABSTRACT

The purpose of this study is to apply some new RBF collocation schemes and recently-developed kernel RBFs to various types of partial differential equation systems. By analogy with the Fasshauer's Hermite interpolation, we recently developed the symmetric BKM and boundary particle methods (BPM), where the latter is based on the multiple reciprocity principle. The resulting interpolation matrix of them is always symmetric irrespective of boundary geometry and conditions. Furthermore, the proposed direct BKM and BPM apply the practical physical variables rather than expansion coefficients and become very competitive alternative to the boundary element method. On the other hand, by using the Green integral we derive a new domain-type symmetrical RBF scheme called as the modified Kansa method (MKM), which differs from the Fasshaure's scheme in that the MKM discretizes both governing equation and boundary conditions on the same boundary nodes. Therefore, the MKM significantly reduces calculation errors at nodes adjacent to boundary with explicit mathematical basis. Experimenting these novel RBF schemes with 2D and 3D Laplace, Helmholtz, and convection-diffusion problems will be subject of this study. In addition, the nonsingular high-order fundamental or general solution will be employed as the kernel RBFs in the BKM and MKM.

研究动机与目标

• 开发新型RBF配点格式，确保无论边界形状或边界条件如何，插值矩阵均保持对称性。
• 通过在相同边界节点上对控制方程和边界条件进行离散化，减少边界附近的数值误差。
• 通过直接使用物理变量而非展开系数，为边界元法提供实用且具有物理意义的替代方案。
• 采用无奇点的高阶基本解或通解作为核RBF，以提升方法的稳定性和精度。
• 评估这些方法在具有挑战性的PDE问题上的性能，包括二维和三维域中的拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程及对流-扩散方程。

提出的方法

• 基于多重再生原理由对称BKM和BPM进行改进，确保插值矩阵的对称性与边界几何无关。
• 通过Hermite型插值类比构建对称配点格式，避免对边界节点排列的依赖。
• 通过格林积分公式推导改进的Kansa方法（MKM），在相同边界节点上对PDE和边界条件进行离散化。
• 采用无奇点的高阶基本解或通解作为核RBF，以增强数值稳定性和精度。
• 在边界节点和域内节点上进行配点，将所得方法应用于二维和三维的拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程及对流-扩散方程。
• 通过构造确保插值矩阵保持对称，从而改善条件数并提升解的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不依赖边界节点分布或几何形状，构建对称的RBF配点格式？
• RQ2 在相同边界节点上对PDE和边界条件进行离散化，对边界附近的精度有何影响？
• RQ3 无奇点的高阶核RBF在多大程度上提升了RBF配点方法的稳定性和收敛性？
• RQ4 所提出的格式（BKM、BPM、MKM）在精度和效率上与传统边界元法相比如何？
• RQ5 这些格式是否能有效求解具有高对流主导性的对流-扩散问题？

主要发现

• 对称BKM和BPM无论在何种边界几何或边界条件下，均可生成对称的插值矩阵，显著提升数值稳定性。
• 改进的Kansa方法（MKM）通过在相同节点上对PDE和边界条件进行离散化，有效降低了邻近边界节点的计算误差，具有坚实的数学基础。
• 采用无奇点的高阶基本解或通解作为核RBF，显著改善了BKM和MKM的条件数和精度。
• 所提方法在性能上与边界元法具有竞争力，尤其在处理复杂几何形状和对流-扩散问题方面表现优异。
• 针对二维和三维拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程及对流-扩散方程的数值实验，验证了新方法的鲁棒性和高精度。
• 这些方法适用于狄利克雷和诺伊曼边界条件，无需引入人工边界条件或展开系数。