[论文解读] New Reductions and Nonlinear Systems for 2D Schrodinger Operators

P. G. Grinevich, А. Миронов+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于二维薛定谔算子的 L-A-B 三元组的新可积 (2+1) 维非线性系统，其具有非标准约化，可推广为 Burgers 方程。在 $S=0$ 约化下，该系统是线性可化的，并在 Bloch-Floquet 流形内的复代数曲线上产生新颖的代数几何解，关键结果表明在非自伴算子上存在非平凡的驻定解，从而挑战了关于自伴算子在全复流形中仅存在常能量层曲线的猜想。

ABSTRACT

New Completely Integrable (2+1)-System is studied. It is based on the so-called L-A-B-triples $L_t=[H,L]-fL$ where L is a 2D Schrodinger Operator. This approach was invented by S.Manakov and B.Dubrovin, I.Krichever, S.Novikov(DKN) in the works published in 1976. A nonstandard reduction for the 2D Schrodinger Operator (completely different from the one found by S.Novikov and A.Veselov in 1984) compatible with time dynamics of the new Nonlinear System, is studied here. It can be naturally treated as a 2D extension of the famous Burgers System. The Algebro-Geometric (AG) Periodic Solutions here are very specific and unusual (for general and reduced cases). The reduced system is linearizable like Burgers. However, the general one (and probably the reduced one also) certainly lead in the stationary AG case to the nonstandard examples of algebraic curves $Γ\subset W$ in the full complex 2D manifold of Bloch-Floquet functions W for the periodic elliptic 2D operator H where $Hψ(x,y,P)=λ(P)ψ(x,y,P),P\in Γ$. However, in the nontrivial case the operators are nonselfadjoint. A Conjecture is formulated that for the nontrivial selfadjoint elliptic 2D Schrodinger operators H with periodic coefficients The Whole 2D Complex Manifolds W cannot not contain any Zariski open part of algebraic curve $Γ$ except maybe one selected level $Hψ=const$ found in 1976 by DKN. Version 2 contains new results. It also corrects some non-accurate claims; in particular, the non-reduced system is non-linearizable in any trivial sense. In version 3 a misprint in the formulation of Theorem 1 was corrected.

研究动机与目标

• 基于二维薛定谔算子的 L-A-B 三元组，发展一类全新的完全可积 (2+1)-维系统。
• 识别并研究一种与时间演化相容的非标准约化，该约化不同于 Novikov-Veselov 所提出的约化。
• 为广义系统构造代数几何周期解，并在 Bloch-Floquet 流形中分析其结构。
• 研究在非自伴算子情况下，全复 Bloch-Floquet 流形 $W$ 中是否存在非平凡代数曲线，并挑战关于自伴算子仅存在常能量层曲线的猜想。

提出的方法

• L-A-B 三元组形式化：$L_t = [H,L] - fL$，其中 $L = \partial_x\partial_y + G\partial_y + S$，$H = \partial_x^2 + \partial_y^2 + F\partial_y + A$，且 $f = 2G_x - F_y$。
• 采用规范条件 $G' = 0$ 简化系统，并在微分约束 $F_x = 2G_y$，$A_y = 2S_x$ 下推导 $G$、$S$、$F$ 和 $A$ 的演化方程。
• 通过 $S=0$ 约化引入 $B_2$-系统，证明其可通过代换 $G = -( abla \log c)_x$，$F = -2( abla \log c)_y$，$A = -2u_x$ 实现线性化。
• 在非奇异代数曲线 $\Gamma'$ 上构造代数几何解 $\psi(x,y,t,P)$，其在无穷远处具有指数渐近性，在固定除子点 $D'$ 处具有极点。
• 使用反谱数据：一条具有两个无穷远点 $P_1, P_2$ 的曲线 $\Gamma'$，一个一般除子 $D'$（度数为 $g'+k$），并满足归一化条件 $\psi(0,0,0,P)=1$。
• 推导线性化 $B_2$ 系统的关键方程 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (\Phi(y,t) + A(x,t))c$，该方程对 $y$-无关解成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 $L$-A-B 三元组，为二维薛定谔算子构造一个具有非平凡时间演化的新型 (2+1)-维可积系统？
• RQ2 $S=0$ 约化是否产生一个可线性化的二维 Burgers 方程扩展，其解结构如何？
• RQ3 在广义系统的驻定情况下，即使算子为非自伴算子，代数曲线 $\Gamma \subset W$ 上是否可能存在非平凡的代数几何解？
• RQ4 对于自伴二维椭圆薛定谔算子，其全复 Bloch-Floquet 流形 $W$ 是否可能包含除 DKN 于 1976 年发现的常能量层曲线外的其他代数曲线的 Zariski 开集？

主要发现

• $B_2$-系统通过 $S=0$ 约化定义，其可通过变换 $c = \exp(-\int G dx)$ 实现线性化，从而导出方程 $c_t - c_{xx} + c_{yy} = (\Phi(y,t) + A(x,t))c$。
• 该约化系统允许形如 $c = \sum_i c'_i(x,t) c''_i(y,t)$ 的解，其中每个 $c'_i$ 和 $c''_i$ 分别满足一维热方程，从而产生非平凡的 $c$-依赖系数 $F$ 和 $G$。
• 代数几何解 $\psi$ 存在于一条非奇异曲线 $\Gamma'$ 上，其在 $P_2$ 处具有指数行为，并在固定除子点 $D'$ 处具有极点，满足 $L\psi = 0$ 与 $(\partial_t - H)\psi = 0$。
• 在驻定情况下，系统导出非平凡的代数曲线 $\Gamma' \subset W$ 的例子，其中 $H\psi = \lambda\psi$ 且 $\lambda \neq \text{const}$，即使算子为非自伴算子。
• 当 $S \neq 0$ 时，全系统在任何平凡意义上均不可线性化，与约化后的 $B_2$-系统不同。
• 提出一个猜想：对于具有周期系数的非平凡自伴二维椭圆薛定谔算子，流形 $W$ 不可能包含除 DKN 常能量层曲线外的任何代数曲线 $\Gamma$ 的 Zariski 开集。