[论文解读] New reformulations for 0-1 quadratic programming problem using quadratic nonconvex reformulation techniques and valid inequalities

Cheng Lu, Fei Yu+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2026

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一句话总结

论文介绍了针对 0-1 二次规划的二次非凸重表述（QNR），并与现有的二次凸重表述（QCR）进行比较，纳入有效不等式以收紧 McCormick 松弛界。

ABSTRACT

It is well-known that the quadratic convex reformulation (QCR) technique can speed up some general-purpose solvers such as CPLEX and Gurobi. Recently, the method of quadratic nonconvex reformulation (QNR) was proposed, which provides an alternative way for accelerating a solver via reformulation technique. This paper proposes several new reformulations for 0-1 quadratic programming problems using the QNR technique. Such a technique provides more flexibility in adding nonconvex quadratic constraints into the problem formulation, so that some valid inequalities, such as the triangle inequalities, can be incorporated into the formulation to tighten the lower bound of the problem. We analyze the effects of the proposed reformulations on the lower bounds implemented in the solver, and propose some methods to maximize the McCormick relaxation bounds of the reformulations. Our numerical experiments compare the proposed reformulations with the existing quadratic convex reformulations, showing the effectiveness of the proposed reformulations on 0-1 quadratic programming problems.

研究动机与目标

• 通过重表述技术，推动 0-1 二次规划（BQP）的加速求解。
• 引入一个 QNR 框架，使非凸二次约束能够收紧下界。
• 结合有效不等式（如三角不等式）以进一步改善松弛的紧性。
• 分析重表述对现代求解器中 McCormick 松弛界的影响。
• 通过数值实验将基于 QNR 的重表述与现有的 QCR 方法进行比较。

提出的方法

• 回顾现有的二次凸重表述（QCR 与 QCRE）及其与 SDP 与 SDP+RLT 松弛的联系。
• 提出一个带有非凸项与连锁约束 w ≥ x^T Z x 的简单二次非凸重表述（QNR），松弛为 w ≥ Z•X，应用 McCormick 松弛。
• 给出一个通用的 QNRE/QAgg 重表述，通过 g_t(x) ≤ 0 添加非凸有效不等式并聚合它们以收紧界。
• 开发一个参数优化框架以最大化 McCormick 松弛界，通过半正定规划（SDP）求解得到 λ*, Z*, γ* 的最优解。
• 引入简化的 QNRE-AGG 变体以减少扩展变量，同时保持界的质量。
• 推导基于三角不等式的重表述（TRI），可以达到与 SDP+RLT+TRI 松弛在界强度相匹配的水平。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对于凸重表述，QNR 是否能为 0-1 BQP 提供更紧的 McCormick 松弛界？
• RQ2 有效不等式（包括三角不等式）如何影响基于 QNR 的重表述的有效性？
• RQ3 在变量数量和计算成本方面，QNR 与 QCRE 重表述之间有哪些权衡？
• RQ4 基于 QNR 的重表述是否能达到或超过 SDP+RLT 松弛的界强度？

主要发现

• 基于 QNR 的重表述能够提供与凸的 SDP+RLT 松弛相当的高质量 McCormick 松弛界。
• 将有效不等式引入 QNR 重表述可收紧下界并提升求解器性能。
• QNR-AGG 在保持等同于完整 QNR 界质量的前提下，减少了辅助变量的数量。
• 三角不等式使某些 QNRE-AGG 重表述的界强度接近 SDP+RLT+TRI 松弛的水平。
• 通过公开的 BQP 实例进行数值比较，评估 QNR 与 QCR 方法的有效性（结果在论文中给出）。