[论文解读] New representation for Lagrangians of self-dual nonlinear electrodynamics

Evgeny Ivanov, Б. М. Зупник|ArXiv.org|Feb 28, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 29

一句话总结

本文提出了一种4D自对偶非线性电动力学中拉格朗日量的新型 $V,F$ 表示，其中辅助双旋量场 $V_{\alpha\beta}, \bar{V}_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$ 编码了非线性相互作用。$SO(2)$ 对偶对称性被实现为相互作用函数 $E(V^2, \bar{V}^2) = \tilde{E}(V^2\bar{V}^2)$ 的 $U(1)$ 不变性，而离散自对偶性对应于条件 $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$，从而在无需微扰展开的情况下，给出了自对偶约束的封闭形式解。

ABSTRACT

We elaborate on a new representation of Lagrangians of 4D nonlinear electrodynamics including the Born-Infeld theory as a particular case. In this new formulation, in parallel with the standard Maxwell field strength $F_{αβ}, \bar{F}_{\dotα\dotβ}$, an auxiliary bispinor field $V_{αβ}, \bar{V}_{\dotα\dotβ}$ is introduced. The gauge field strength appears only in bilinear terms of the full Lagrangian, while the interaction Lagrangian $E$ depends on the auxiliary fields, $E = E(V^2, \bar V^2)$. The generic nonlinear Lagrangian depending on $F,\bar{F}$ emerges as a result of eliminating the auxiliary fields. Two types of self-duality inherent in the nonlinear electrodynamics models admit a simple characterization in terms of the function $E$. The continuous SO(2) duality symmetry between nonlinear equations of motion and Bianchi identities amounts to requiring $E$ to be a function of the SO(2) invariant quartic combination $V^2\bar V^2$, which explicitly solves the well-known self-duality condition for nonlinear Lagrangians. The discrete self-duality (or self-duality under Legendre transformation) amounts to a weaker condition $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$. We show how to generalize this approach to a system of $n$ Abelian gauge fields exhibiting U(n) duality. The corresponding interaction Lagrangian should be U(n) invariant function of $n$ bispinor auxiliary fields.

研究动机与目标

• 为自对偶非线性电动力学的拉格朗日量提供一种新表示，避免微扰展开。
• 通过辅助相互作用函数 $E(V^2, \\bar{V}^2)$ 的 $U(1)$ 不变性，表征连续 $SO(2)$ 对偶性。
• 通过 $U(n)$-不变的 $E(V^k, \\bar{V}^k)$ 将形式推广至 $n$ 个阿贝尔规范场，实现 $U(n)$ 对偶对称性。
• 将离散自对偶性（勒让德对偶）的条件识别为偶性：$E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\\bar{V}^2)$。
• 将该框架扩展至 $U(n)$-不变模型，并探讨其在超对称及非阿贝尔推广中的相关性。

提出的方法

• 引入辅助双旋量场 $V_{\\alpha\\beta}, \bar{V}_{\dot{\\alpha}\dot{\\beta}}$，并与标准的麦克斯韦场强 $F_{\alpha\beta}, \bar{F}_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$ 一同使用。
• 将完整拉格朗日量构造成 $F$ 和 $V$ 的双线性项之和，以及仅依赖于辅助场的相互作用项 $E(V^2, \bar{V}^2)$。
• 通过要求 $E$ 仅依赖于 $SO(2)$-不变组合 $V^2\bar{V}^2$ 来实现 $SO(2)$ 对偶性，从而保证运动方程和比安基恒等式的不变性。
• 通过条件 $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$ 表征离散自对偶性，该条件对应于勒让德变换下的不变性。
• 通过引入 $n$ 个双旋量辅助场 $V^k_{\alpha\beta}, \bar{V}^k_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$，将形式推广至 $n$ 个阿贝尔规范场，并要求 $E$ 具有 $U(n)$-不变性。
• 通过其代数运动方程消去辅助场，推导出物理拉格朗日量，恢复 $\mathcal{L}(F, \bar{F})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无需微扰展开的情况下，精确求解非线性电动力学中 $SO(2)$ 对偶性的条件？
• RQ2 辅助双旋量场在编码自对偶拉格朗日量的非线性结构中起什么作用？
• RQ3 在多规范场系统中，$U(n)$ 对偶对称性在 $V,F$ 表示中如何体现？
• RQ4 离散自对偶性（勒让德对偶）在辅助场相互作用函数 $E$ 的术语中，其精确条件是什么？
• RQ5 $V,F$ 形式能否扩展至非线性电动力学的超对称或非阿贝尔推广？

主要发现

• 通过要求相互作用函数 $E(V^2, \bar{V}^2)$ 仅依赖于 $SO(2)$-不变组合 $V^2\bar{V}^2$，即 $E = \tilde{E}(V^2\bar{V}^2)$，精确求解了 $SO(2)$ 对偶性条件。
• 无需微扰论，获得了 $SO(2)$ 自对偶拉格朗日量的一般解，为该类理论的完整族提供了封闭形式的参数化。
• 离散自对偶性由条件 $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$ 表征，该条件推广了已知的 $n=1$ 情况，并确保在勒让德变换下的不变性。
• 对于 $n$ 个阿贝尔规范场，$U(n)$ 对偶对称性通过要求 $E(V^k, \bar{V}^k)$ 具有 $U(n)$-不变性来编码，从而将自对偶性条件简化为一个简单的群论约束。
• $V,F$ 表示允许通过求解 $V_{\alpha\beta}^k$ 的代数运动方程来重建完整拉格朗日量，在 Born-Infeld 情况中，该方程具有封闭形式解。
• 该方法为研究自对偶模型提供了一个新框架，具有扩展至 $N=1, N=2$ 超对称理论及非阿贝尔 Born-Infeld 理论的潜力。