[论文解读] New representation results for planar graphs

Farhad Shahrokhi|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 12

一句话总结

本文提出了一项新的通用表示定理，表明任何平面图均可表示为一个弦图、四个共二部图和一个单位区间图的交集。其关键创新在于引入了团覆盖宽度（clique cover width, CCW）作为带宽的推广，从而为平面图提供了有界表示，并进一步扩展至曲面上嵌入的图以及排除一个交叉数至多为1的子图的图。

ABSTRACT

A universal representation theorem is derived that shows any graph is the intersection graph of one chordal graph, a number of co-bipartite graphs, and one unit interval graph. Central to the the result is the notion of the clique cover width which is a generalization of the bandwidth parameter. Specifically, we show that any planar graph is the intersection graph of one chordal graph, four co-bipartite graphs, and one unit interval graph. Equivalently, any planar graph is the intersection graph of a chordal graph and a graph that has {clique cover width} of at most seven. We further describe the extensions of the results to graphs drawn on surfaces and graphs excluding a minor of crossing number of at most one.

研究动机与目标

• 开发一种基于特定图类交集图的新平面图表示框架。
• 通过团覆盖宽度（CCW）推广带宽参数，用于结构和算法应用。
• 将表示结果扩展至曲面上嵌入的图以及排除一个交叉数 ≤1 的子图的图。
• 通过分隔符建立图分解、交集表示与计算效率之间的联系。
• 为平面图及相关图类提供具有有界团覆盖宽度的交集模型的多项式时间构造。

提出的方法

• 将团覆盖宽度（CCW）引入为带宽的推广，用于衡量在尊重边邻接关系的顶点划分中，团之间最大距离的度量。
• 证明一个通用表示定理：任何图均可表示为一个弦图与一个具有有界CCW的图的交集，基于树分解与顶点划分。
• 通过构造具有有界每层交集的树分解，将通用定理应用于平面图，得出CCW ≤ 7。
• 利用定理1.1，将具有有界CCW的图分解为 ⌈log w⌉+1 个共二部图和一个单位区间图。
• 通过归纳法将结果扩展至亏格为g的图，表明CCW界随 O(log g) 增长。
• 通过将排除子图（其交叉数 ≤1）分解为平面图或低树宽图的团和，并利用团和运算组合表示，处理此类图。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图能否表示为有限个结构化图类（如弦图、共二部图和单位区间图）的交集？
• RQ2 新引入的团覆盖宽度参数与带宽有何关系？它为图分解提供了哪些结构洞见？
• RQ3 该交集表示框架在多大程度上可扩展至曲面上嵌入的图或排除一个交叉数较小的子图的图？
• RQ4 构造此类交集表示的计算复杂度如何？能否产生高效的分隔符？
• RQ5 该表示框架能否用于推导或推广已知结果，如平面分隔符定理？

主要发现

• 任何平面图均可表示为一个弦图、四个共二部图和一个单位区间图的交集，这是通用表示定理与定理1.1的直接推论。
• 该表示中辅助图的团覆盖宽度对平面图有界，其值不超过7，源于最大层交集大小 t* ≤ 4 的树分解。
• 该表示可扩展至亏格为g的图，其中所需共二部图的数量为 O(log g)，显示出对拓扑复杂度的对数依赖性。
• 对于排除一个子图H（其交叉数 ≤1）的图，所需共二部图的数量为 O(log C_H)，其中 C_H 是 |V(H₀)| 与 |E(H₀)| 的超指数函数。
• 除排除子图情况外，所有情况的构造均为多项式时间；该框架通过小分隔符构造隐含了平面分隔符定理。
• 由于团覆盖宽度与带宽问题密切相关，其计算被证明为NP难。