[论文解读] New results for the growth of sets of real numbers

Timothy G. F. Jones|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了基于交比的新三元、四元和五元实值函数，其对实数有限子集的像集具有强于以往已知结果的增长界。仅使用Szemerédi-Trotter交点定理和平面交点结果，证明了三元函数 $f$ 满足 $|f(A)| \gg |A|^2 / \log|A|$，四元函数 $g$ 满足 $|g(A)| \gg |A|^2$，五元函数 $h$ 满足 $|h(A)| \gg |A|^4 / \log|A|$，在不依赖Guth-Katz多项式分划或可展曲面理论的前提下改进了先前结果。

ABSTRACT

We use the theory of cross ratios to construct a real-valued function f of only three variables with the property that for any finite set A of reals, the set f(A) = {f(a,b,c):a,b,c \in A} has cardinality at least C|A|^2/log|A|, for an absolute constant C. Previously-known functions with this property had all been of four variables. We also improve on the state of the art for functions of four variables by constructing a function g for which g(A) has cardinality at least C|A|^2; the previously best-achieved bound was C|A|^2/log|A|. Finally, we give an example of a five-variable function h for which h(A) has cardinality at least C|A|^4/log|A|. Proving these results depends only on the Szemeredi-Trotter incidence theorem and an analoguous result for planes due to Edelsbrunner, Guibas and Sharir, each applied in the Erlangen-type framework of Elekes and Sharir. In particular the proofs do not employ the Guth-Katz polynomial partitioning technique or the theory of ruled surfaces. Although the growth exponents for f, g and h are stronger than those for previously considered functions, it is not clear that they are necessarily sharp. So we pose a question as to whether the bounds on the cardinalities of f(A), g(A) and h(A) can be further strengthened.

研究动机与目标

• 为实数有限集构造新的扩展函数，实现更强的增长界。
• 在相同变量数下，实现 $f(A)$、$g(A)$ 和 $h(A)$ 的像集基数增长强于以往已知函数。
• 仅使用经典交点定理（Szemerédi-Trotter 和 Edelsbrunner-Guibas-Sharir）证明这些界，不依赖多项式分划或可展曲面理论等高级工具。
• 提出开放问题：当前界是否可进一步改进。

提出的方法

• 构造使用交比 $X(a,b,c,d) = \frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}$ 作为核心函数，将实数三元组或四元组映射到实数。
• 利用 $PSL_2(\mathbb{R})$ 中的射影变换刻画两组四元组具有相同交比的条件，将问题关联到交点几何。
• 函数 $f$ 定义为 $X(0,a,b,c)$，通过Elekes与Sharir的Erlangen型框架将问题转化为 $\mathbb{R}^3$ 中点与直线之间的交点计数。
• 函数 $g$ 为标准交比 $X(a,b,c,d)$，其像集大小通过分析 $\mathbb{R}^3$ 中点与平面之间的交点关系来界定。
• 函数 $h$ 将五元组映射到 $\mathbb{R}^2$，通过两个交比实现，其像集大小利用带重数的点与平面之间的交点界来界定。
• 应用柯西-施瓦茨不等式，将函数值相等的解的数量与像集大小关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个三元实值函数，使其在实数有限集 $A \subset \mathbb{R}$ 上的像集大小实现超二次增长？
• RQ2 是否存在一个四元函数，使其满足 $|g(A)| \gg |A|^2$，且不依赖Guth-Katz多项式分划方法？
• RQ3 五元函数的界 $|h(A)| \gg |A|^4 / \log|A|$ 是否是紧的，或可进一步改进？
• RQ4 目前 $f$、$g$ 和 $h$ 的增长指数是否最优，或可证明更强的下界？

主要发现

• 三元函数 $f(a,b,c) = X(0,a,b,c)$ 满足 $|f(A)| \gg |A|^2 / \log|A|$，优于以往的三元扩展函数。
• 四元函数 $g(a,b,c,d) = X(a,b,c,d)$ 满足 $|g(A)| \gg |A|^2$，其界强于先前的 $|A|^2 / \log|A|$。
• 五元函数 $h(a,b,c,d,e) = (X(a,b,c,d), X(a,b,c,e))$ 满足 $|h(A)| \gg |A|^4 / \log|A|$，展示了更高维的扩展性。
• 证明仅依赖于Szemerédi-Trotter点与直线交点定理和Edelsbrunner-Guibas-Sharir点与平面交点定理，避免使用多项式分划等高级工具。
• 当前界是否紧尚不明确，本文提出开放问题：是否可进一步改进这些界。